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Aufgabenstellung:

Gegeben ist der rechts abgebildete elliptische Halbkegelstumpf , welcher durch alle gegeben ist, die folgende Bedingungen erfüllen:

 

 

Weiter besteht der orientierte Rand aus dem Mantel , dem Boden und dem Vertikaldreieck .

Elliptischer Halbkegelstumpf in einem dreidimensionalen Koordinatensystem

 

Berechne: 

  1. Die Divergenz des Vektorfeldes mit
  2. Die nach außen weisenden Normalenvektoren von und von .
  3. Die Flussintegrale und
  4. Den Fluss des Feldes durch den Mantel mit Hilfe des Integralsatzes von Gauß und der Ergebnisse aus 3.

Lösungsweg:

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1. Berechne die Divergenz von :

2. Bestimmung der Normalenvektoren:

Für den Boden gilt: 

Der Boden ist gegeben durch also

Stelle eine passende Parametrisierung für auf:

mit

Bilde , , das Kreuzprodukt und dessen Betrag:

Bestimme nun , durch berechnen von und anschließender Vorzeichenprüfung:

, zeigt nicht nach außen

Rechne analog für das Dreieck :

Das Dreieck ist geg. durch:

Parametrisierung von ergibt:

Dieser Vektor ist schon normiert zeigt jedoch nicht nach außen.

3. Berechnung von und

4. Berechnung von mit Gauß:

Lösung: