Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>$$\int_{\partial P} v \cdot d o = \frac{\pi}{2}$$</p>

<p><strong>1. der direkte Weg</strong></p>


<p>Überlege durch welche Flächen das Paraboloidstück begrenzt wird und finde jeweils eine passende Parametrisierung:</p>


<p>Das Paraboloidstück wird nach oben durch die Kappe des Paraboloids $F_1$ und nach unten durch die Kreisscheibe $F_2$ begrenzt:</p>


<p>Das Paraboloidstück wird nach oben durch die Kappe des Paraboloids <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F_1" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.368ex" height="1.878ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1046.6 830" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11994-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-11994-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11994-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(643, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11994-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> und nach unten durch die Kreisscheibe <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F_2" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.368ex" height="1.878ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1046.6 830" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11995-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-11995-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11995-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(643, -150) scale(0.707)"><use xlink:href="#MJX-11995-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container> begrenzt:</p>


<p>$$F_{1}=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, z=-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}$$</p>


<p>$$F_{2}=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1, z=-1\right\}$$</p>


<p>Eine Parametrisierung von $F_{1}$ ist:</p>


<p>Eine Parametrisierung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F_{1}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.368ex" height="1.878ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1046.6 830" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-11998-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-11998-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-11998-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(643, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-11998-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ist:</p>


<p>$$\gamma(x, y)=\left(x, y,-x^{2}-y^{2}\right) \text{ mit }(x, y) \in B:=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$$</p>


<p>Eine Parametrisierung von $F_{2}$ ist:</p>


<p>Eine Parametrisierung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F_{2}" style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.368ex" height="1.878ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 1046.6 830" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12000-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-12000-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12000-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(643, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12000-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ist:</p>


<p>$\gamma(x, y)=(x, y,-1)$ mit $(x, y) \in B$</p>


<p>Berechne zunächst $\int_{F_{1}} v \cdot d o=\int_{P} v\left(\gamma_{x} \times \gamma_{y}\right) d(x, y)$:</p>


<p>Berechne zunächst <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\int_{F_{1}} v \cdot d o=\int_{P} v\left(\gamma_{x} \times \gamma_{y}\right) d(x, y)" style="vertical-align: -1.011ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="30.252ex" height="2.834ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -805.5 13371.5 1252.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12003-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 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transform="translate(4974.7, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(472, -340.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D443"></use></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6194.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(6679.4, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D6FE"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1583.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2583.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D6FE"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D466"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3498.4, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(10566.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(11086.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(11475.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12047.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(12492.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(12982.5, 0)"><use xlink:href="#MJX-12003-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>Auf $F_{1}$ gilt für $v\left(x, y,-x^{2}-y^{2}\right)$:</p>


<p>\begin{align*}<br />v\left(x, y,-x^{2}-y^{2}\right)=\left(-x y^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), x^{2} y\left(x^{2}+y^{2}\right),-x^{2}-y^{2}\right)<br />\end{align*}</p>


<p>Berechne $\gamma_{x}$, $\gamma_{y}$ und $\gamma_{x} \times \gamma_{y}$</p>


<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\gamma_{x}" style="vertical-align: -0.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.2ex" height="1.486ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 972.5 657" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12007-TEX-I-1D6FE" d="M31 249Q11 249 11 258Q11 275 26 304T66 365T129 418T206 441Q233 441 239 440Q287 429 318 386T371 255Q385 195 385 170Q385 166 386 166L398 193Q418 244 443 300T486 391T508 430Q510 431 524 431H537Q543 425 543 422Q543 418 522 378T463 251T391 71Q385 55 378 6T357 -100Q341 -165 330 -190T303 -216Q286 -216 286 -188Q286 -138 340 32L346 51L347 69Q348 79 348 100Q348 257 291 317Q251 355 196 355Q148 355 108 329T51 260Q49 251 47 251Q45 249 31 249Z"></path><path id="MJX-12007-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12007-TEX-I-1D6FE"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12007-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>, <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\gamma_{y}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.069ex" height="1.665ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 914.5 736" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12008-TEX-I-1D6FE" d="M31 249Q11 249 11 258Q11 275 26 304T66 365T129 418T206 441Q233 441 239 440Q287 429 318 386T371 255Q385 195 385 170Q385 166 386 166L398 193Q418 244 443 300T486 391T508 430Q510 431 524 431H537Q543 425 543 422Q543 418 522 378T463 251T391 71Q385 55 378 6T357 -100Q341 -165 330 -190T303 -216Q286 -216 286 -188Q286 -138 340 32L346 51L347 69Q348 79 348 100Q348 257 291 317Q251 355 196 355Q148 355 108 329T51 260Q49 251 47 251Q45 249 31 249Z"></path><path id="MJX-12008-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12008-TEX-I-1D6FE"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12008-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\gamma_{x} \times \gamma_{y}" style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.035ex" height="1.778ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -491 3109.4 786" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12009-TEX-I-1D6FE" d="M31 249Q11 249 11 258Q11 275 26 304T66 365T129 418T206 441Q233 441 239 440Q287 429 318 386T371 255Q385 195 385 170Q385 166 386 166L398 193Q418 244 443 300T486 391T508 430Q510 431 524 431H537Q543 425 543 422Q543 418 522 378T463 251T391 71Q385 55 378 6T357 -100Q341 -165 330 -190T303 -216Q286 -216 286 -188Q286 -138 340 32L346 51L347 69Q348 79 348 100Q348 257 291 317Q251 355 196 355Q148 355 108 329T51 260Q49 251 47 251Q45 249 31 249Z"></path><path id="MJX-12009-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-12009-TEX-N-D7" d="M630 29Q630 9 609 9Q604 9 587 25T493 118L389 222L284 117Q178 13 175 11Q171 9 168 9Q160 9 154 15T147 29Q147 36 161 51T255 146L359 250L255 354Q174 435 161 449T147 471Q147 480 153 485T168 490Q173 490 175 489Q178 487 284 383L389 278L493 382Q570 459 587 475T609 491Q630 491 630 471Q630 464 620 453T522 355L418 250L522 145Q606 61 618 48T630 29Z"></path><path id="MJX-12009-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12009-TEX-I-1D6FE"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12009-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1194.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12009-TEX-N-D7"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2194.9, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12009-TEX-I-1D6FE"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(518, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12009-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>&amp; \gamma_{x}=(1,0,-2 x), \quad \gamma_{y}=(0,1,-2 y) \\\\</p>
<p>\Rightarrow \quad &amp; \gamma_{x} \times \gamma_{y}=(2 x, 2 y, 1)<br />\end{align*}</p>


<p>Bilde $v\left(x, y,-x^{2}-y^{2}\right) \cdot \gamma_{x} \times \gamma_{y}$</p>


<p>Bilde <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="v\left(x, y,-x^{2}-y^{2}\right) \cdot \gamma_{x} \times \gamma_{y}" style="vertical-align: -0.791ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.008ex" height="2.713ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -849.5 11053.7 1199" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12011-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-12011-TEX-SO-28" d="M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 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<p>\begin{align*}</p>
<p>v\left(x, y,-x^{2}-y^{2}\right) \cdot \gamma_{x} \times \gamma_{y}&amp;=-2 x^{2} y^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+2 x^{2} y^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-x^{2}-y^{2} \\</p>
<p>&amp;=-x^{2}-y^{2}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Jetzt kannst du $\int_{F_{1}} v \cdot d o$ final berechnen. Nutze Polarkoordinaten:</p>


<p>Jetzt kannst du <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\int_{F_{1}} v \cdot d o" style="vertical-align: -1.011ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.238ex" height="2.834ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -805.5 3641.1 1252.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12013-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244Z"></path><path id="MJX-12013-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-12013-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-12013-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-12013-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-12013-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-12013-TEX-I-1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12013-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(472, -340.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12013-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(643, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12013-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1428.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12013-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2135.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-12013-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2636.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12013-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3156.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12013-TEX-I-1D45C"></use></g></g></g></svg></mjx-container> final berechnen. Nutze Polarkoordinaten:</p>


<p>\begin{align*}<br />\int_{F_{1}} v \cdot d o &amp;\quad \ \, =\int_{P} v\left(\gamma_{x} \times \gamma_{y}\right) d(x, y) \\<br />&amp;\quad \ \, =-\int_{P}\left(x^{2}+y^{2}\right) d(x, y) \\</p>
<p>&amp; \stackrel{\text {Polarkoord.}}{=}-\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r d r d \varphi\\</p>
<p>&amp;\quad \ \, =-\frac{\pi}{2}<br />\end{align*}</p>


<p>Berechne $\int_{F_{2}} v \cdot d o$ analog:</p>


<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\int_{F_{2}} v \cdot d o" style="vertical-align: -1.011ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.238ex" height="2.834ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -805.5 3641.1 1252.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12015-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244Z"></path><path id="MJX-12015-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-12015-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-12015-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-12015-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-12015-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-12015-TEX-I-1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12015-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(472, -340.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12015-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(643, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12015-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1428.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12015-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2135.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-12015-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2636.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12015-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3156.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12015-TEX-I-1D45C"></use></g></g></g></svg></mjx-container> analog:</p>


<p>Auf $F_{2}$ gilt:</p>
<p>$v(x, y, z)=\left(-x y^{2}, x^{2} y,-1\right)$</p>


<p>$\gamma_{x}=(1,0,0), \gamma_{y}=(0,1,0),$</p>


<p>und somit folgt für $\int_{F_{2}} v \cdot d o$:</p>


<p>und somit folgt für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\int_{F_{2}} v \cdot d o" style="vertical-align: -1.011ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.238ex" height="2.834ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -805.5 3641.1 1252.4" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12019-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244Z"></path><path id="MJX-12019-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-12019-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-12019-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-12019-TEX-N-22C5" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250Z"></path><path id="MJX-12019-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-12019-TEX-I-1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12019-TEX-SO-222B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(472, -340.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12019-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(643, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12019-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1428.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12019-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2135.9, 0)"><use xlink:href="#MJX-12019-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2636.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12019-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3156.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12019-TEX-I-1D45C"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\int_{F_{2}} v \cdot d o&amp;=\int_{P}\left(-x y^{2}, x^{2} y,-1\right) \cdot(0,0,1) \ d(x, y) \\</p>
<p>&amp;=\int_{P} 1 \cdot d(x, y)\\</p>
<p>&amp;=\pi</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Füge die Teilergebnisse zusammen:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\int_{F} v \cdot d o=\int_{F_{1}} v \cdot d o+\int_{F_{2}} v \cdot d o=\frac{\pi}{2}</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Berechne $\operatorname{div}(v)$:</p>


<p>Berechne <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\operatorname{div}(v)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.939ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2625 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12022-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-12022-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path id="MJX-12022-TEX-N-76" d="M338 431Q344 429 422 429Q479 429 503 431H508V385H497Q439 381 423 345Q421 341 356 172T288 -2Q283 -11 263 -11Q244 -11 239 -2Q99 359 98 364Q93 378 82 381T43 385H19V431H25L33 430Q41 430 53 430T79 430T104 429T122 428Q217 428 232 431H240V385H226Q187 384 184 370Q184 366 235 234L286 102L377 341V349Q377 363 367 372T349 383T335 385H331V431H338Z"></path><path id="MJX-12022-TEX-N-2061" d=""></path><path id="MJX-12022-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12022-TEX-I-1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path><path id="MJX-12022-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12022-TEX-N-64"></use><use xlink:href="#MJX-12022-TEX-N-69" transform="translate(556, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-12022-TEX-N-76" transform="translate(834, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1362, 0)"><use xlink:href="#MJX-12022-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1362, 0)"><use xlink:href="#MJX-12022-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1751, 0)"><use xlink:href="#MJX-12022-TEX-I-1D463"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2236, 0)"><use xlink:href="#MJX-12022-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container>:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\operatorname{div}(v)&amp;=y^{2} z-x^{2} z+1 \\</p>
<p>&amp;=1+z\left(y^{2}-z^{2}\right)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Nutze den Satz von Gauß, um dein Zielintegral aufzustellen und löse es anschließend:</p>


<p>\begin{align*}</p>
<p>\int_{\partial P} v \cdot d o &amp;= \int_{P} \operatorname{div}(v) \cdot d(x, y, z) \\</p>
<p>&amp;=\int_{P}\left(1+z\left(y^{2}-x^{2}\right)\right) \ d(x, y, z)</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Wegen der Rotationssymmetrie von P bieten sich Zylinderkoordinaten an:</p>


<p>\begin{align*}<br />x&amp;=r \cos \varphi \\<br />y&amp;=r \sin \varphi \\<br />z&amp;=z<br />\end{align*}</p>
<p>mit $d(x, y, z)=r \ d(r, \varphi, z)$ und $(r, \varphi, z) \in[0,1] \times[0,2 \pi] \times\left[-1,-r^{2}\right]$</p>


<p>\begin{align*}<br />\phantom{\int_{\partial P} v \cdot d o }&amp;=\int_{P}\left(1+z\left(y^{2}-x^{2}\right)\right) d(x, y, z)  \\<br />&amp;=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{-1}^{-r^{2}} r\left(1+z r^{2}\left(\sin ^{2} \varphi-\cos ^{2} \varphi\right)\right) \ d z d \varphi d r </p>
<p>\end{align*}</p>


<p>\begin{align*}<br />\phantom{\int_{\partial P} v \cdot d o }&amp;=\int_{0}^{1} r \int_{0}^{2 \pi}\left[z+\frac{z^{2}}{2} r^2(-\cos 2 \varphi)\right]_{z=-1}^{z=-r^{2}} d \varphi d r \\<br />&amp;=\int_{0}^{1} r \int_{0}^{2 \pi}1-r^{2}-\frac{1}{2} r^{2}\left(r^{4}-1\right) \cos 2 \varphi \ d \varphi d r</p>
<p>\end{align*}</p>


<p>Nutze: $\int_{0}^{2 \pi} \cos 2 \varphi \ d \varphi=0$</p>


<p>Nutze: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\int_{0}^{2 \pi} \cos 2 \varphi \ d \varphi=0" style="vertical-align: -0.806ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="17.096ex" height="3.077ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1003.5 7556.4 1359.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12030-TEX-SO-222B" d="M113 -244Q113 -246 119 -251T139 -263T167 -269Q186 -269 199 -260Q220 -247 232 -218T251 -133T262 -15T276 155T297 367Q300 390 305 438T314 512T325 580T340 647T361 703T390 751T428 784T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q475 768 460 756T434 716T418 652T407 559T398 444T387 300T369 133Q349 -38 337 -102T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 -146Q123 -146 138 -159T153 -195Q153 -206 149 -215T139 -230T127 -238T117 -242L113 -244Z"></path><path id="MJX-12030-TEX-N-32" 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<p>\begin{align*}<br />\phantom{\int_{\partial P} v \cdot d o }&amp;=\int_{0}^{1} r\left(1-r^{2}\right) 2 \pi \ d r \\</p>
<p>&amp;=2 \pi\left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}\\</p>
<p>&amp;=\frac{\pi}{2}\end{align*}</p>

<p>Gegeben ist das Vektorfeld $v(x, y, z)=\left(x y^{2} z,-x^{2} y z, z\right)^{\top}$ und der Abschnitt $P=\left\{(x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1,-1 \leq z \leq-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}$ eines Paraboloids.</p>
<p> </p>
<p>Berechne den Fluss $\int_{\partial P} v \cdot do$ des Vektorfeldes $v$ durch den Rand des Paraboloidstücks nach außen. Nutze dabei:</p>
<ol>
<li>eine direkte Berechnung</li>
<li>den Satz von Gauß</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Satz von Gauß mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: