Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Der Fluss ergibt sich zu: $$\Phi=\frac{92}{15} \pi$$

Der Fluss ergibt sich zu: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\Phi=\frac{92}{15} \pi" style="vertical-align: -1.602ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.198ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 4065.6 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12399-TEX-N-3A6" d="M312 622Q310 623 307 625T303 629T297 631T286 634T270 635T246 636T211 637H184V683H196Q220 680 361 680T526 683H538V637H511Q468 637 447 635T422 631T411 622V533L425 531Q525 519 595 466T665 342Q665 301 642 267T583 209T506 172T425 152L411 150V61Q417 55 421 53T447 48T511 46H538V0H526Q502 3 361 3T196 0H184V46H211Q231 46 245 46T270 47T286 48T297 51T303 54T307 57T312 61V150H310Q309 151 289 153T232 166T160 195Q149 201 136 210T103 238T69 284T56 342Q56 414 128 467T294 530Q309 532 310 533H312V622ZM170 342Q170 207 307 188H312V495H309Q301 495 282 491T231 469T186 423Q170 389 170 342ZM415 188Q487 199 519 236T551 342Q551 384 539 414T507 459T470 481T434 491T415 495H410V188H415Z"></path><path id="MJX-12399-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12399-TEX-N-39" d="M352 287Q304 211 232 211Q154 211 104 270T44 396Q42 412 42 436V444Q42 537 111 606Q171 666 243 666Q245 666 249 666T257 665H261Q273 665 286 663T323 651T370 619T413 560Q456 472 456 334Q456 194 396 97Q361 41 312 10T208 -22Q147 -22 108 7T68 93T121 149Q143 149 158 135T173 96Q173 78 164 65T148 49T135 44L131 43Q131 41 138 37T164 27T206 22H212Q272 22 313 86Q352 142 352 280V287ZM244 248Q292 248 321 297T351 430Q351 508 343 542Q341 552 337 562T323 588T293 615T246 625Q208 625 181 598Q160 576 154 546T147 441Q147 358 152 329T172 282Q197 248 244 248Z"></path><path id="MJX-12399-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-12399-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-12399-TEX-N-35" d="M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z"></path><path id="MJX-12399-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12399-TEX-N-3A6"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(999.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12399-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2055.6, 0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, 676)"><use xlink:href="#MJX-12399-TEX-N-39"></use><use xlink:href="#MJX-12399-TEX-N-32" transform="translate(500, 0)"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220, -686)"><use xlink:href="#MJX-12399-TEX-N-31"></use><use xlink:href="#MJX-12399-TEX-N-35" transform="translate(500, 0)"></use></g><rect width="1200" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3495.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12399-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></svg></mjx-container>

Parametrisiere den Kegel in Zylinderkoordinaten:

Es gilt:
\begin{align*}
&amp;0 \leq r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 2 z \\
&amp;0 \leq z \leq 1 \\
&amp;0 \leq \varphi \leq 2 \pi
\end{align*}

Es gilt:
<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
&0 \leq r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 2 z \\
&0 \leq z \leq 1 \\
&0 \leq \varphi \leq 2 \pi
\end{align*}" style="vertical-align: -3.849ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.688ex" height="8.83ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2201.4 10028.2 3902.7" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12393-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-12393-TEX-N-2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path><path id="MJX-12393-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 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xlink:href="#MJX-12393-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1833.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12393-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2765.3, 0)"><use xlink:href="#MJX-12393-TEX-N-2264"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3821.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12393-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4321.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12393-TEX-I-1D70B"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Schreibe das gesuchte Integral mit dem Satz von Gauß um:

\begin{align*}
\Phi &amp;= \iint_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{S} \\
&amp;=\iiint_{V} \operatorname{div} \vec{F} \ \mathrm{d} V
\end{align*}

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\Phi &= \iint_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{S} \\
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Berechne die Divergenz von $F$ und schreibe einen Ausdruck für $dV$ auf::

Berechne die Divergenz von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="F" style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.695ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 749 680" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12395-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12395-TEX-I-1D439"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und schreibe einen Ausdruck für <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="dV" style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.916ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 1289 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12396-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-12396-TEX-I-1D449" d="M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12396-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520, 0)"><use xlink:href="#MJX-12396-TEX-I-1D449"></use></g></g></g></svg></mjx-container> auf::

\begin{align*}
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\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\operatorname{div} \vec{F}&=1+3+ \frac{1}{2 \sqrt{z}} \\
&=4+ \frac{1}{2 \sqrt{z}} \\\\
\mathrm{d} V&=r \ \mathrm{d} r \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} z
\end{align*}" style="vertical-align: -8.059ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.159ex" height="17.249ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -4062 9352.4 7624" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12397-TEX-N-64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 393V495ZM373 342Q328 405 260 405Q211 405 173 369Q146 341 139 305T131 211Q131 155 138 120T173 59Q203 26 251 26Q322 26 373 103V342Z"></path><path id="MJX-12397-TEX-N-69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 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transform="translate(2590.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12397-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3041.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12397-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3597.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12397-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4251.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12397-TEX-N-64"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4807.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12397-TEX-I-1D467"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Setze alles in das zu Volumenintegral ein und berechne:

\begin{align*}
\Phi&amp;=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 z}\left(4+\frac{1}{2 \sqrt{z}}\right) r \  \mathrm{d} r \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} z \\
&amp;=4 \cdot \frac{1}{3}\left( 2^{2} \ \pi \right) \cdot 1+2 \pi \cdot \frac{2}{5} \\
&amp;=\frac{92}{15} \pi
\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}
\Phi&=\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 z}\left(4+\frac{1}{2 \sqrt{z}}\right) r \  \mathrm{d} r \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} z \\
&=4 \cdot \frac{1}{3}\left( 2^{2} \ \pi \right) \cdot 1+2 \pi \cdot \frac{2}{5} \\
&=\frac{92}{15} \pi
\end{align*}" style="vertical-align: -7.669ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="37.925ex" height="16.468ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -3889.5 16763 7279" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12398-TEX-N-3A6" d="M312 622Q310 623 307 625T303 629T297 631T286 634T270 635T246 636T211 637H184V683H196Q220 680 361 680T526 683H538V637H511Q468 637 447 635T422 631T411 622V533L425 531Q525 519 595 466T665 342Q665 301 642 267T583 209T506 172T425 152L411 150V61Q417 55 421 53T447 48T511 46H538V0H526Q502 3 361 3T196 0H184V46H211Q231 46 245 46T270 47T286 48T297 51T303 54T307 57T312 61V150H310Q309 151 289 153T232 166T160 195Q149 201 136 210T103 238T69 284T56 342Q56 414 128 467T294 530Q309 532 310 533H312V622ZM170 342Q170 207 307 188H312V495H309Q301 495 282 491T231 469T186 423Q170 389 170 342ZM415 188Q487 199 519 236T551 342Q551 384 539 414T507 459T470 481T434 491T415 495H410V188H415Z"></path><path id="MJX-12398-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 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Gegeben ist ein Kegel $V$: $\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2 z, \  0 \leq z \leq 1$ und das Vektorfeld $\vec{F}=(x+4 y, 3 y-x, \sqrt{z})^{T}$ Berechne den Gesamtfluss von $F$ durch die Kegeloberfläche $S$: $\Phi = \iint_{S} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{S}$, indem du den Satz von Gauß verwendest. Hinweis: Die Normale ist nach außen gerichtet.

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Satz von Gauß mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Satz von Gauß | Aufgabe mit Lös

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: