Satz von Green

Satz von Stokes

Satz von Gauß

Mehrfachintegrale berechnen

Gebietsintegrale

Kurvenintegrale

Oberflächenintegrale und Fluss

Oberflächenintegral 1. Art

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Die Fläche beträgt:$$F=\frac{4 c^{2} \pi^{3}}{3}$$

Die Fläche beträgt:<mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="F=\frac{4 c^{2} \pi^{3}}{3}" style="vertical-align: -1.602ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.934ex" height="5.018ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1509.9 4832.7 2217.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12158-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path><path id="MJX-12158-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12158-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path><path id="MJX-12158-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-12158-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-12158-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-12158-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12158-TEX-I-1D439"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1026.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12158-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2082.6, 0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220, 676)"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12158-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(500, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12158-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(433, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12158-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(1336.6, 0)"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12158-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(570, 363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-12158-TEX-N-33"></use></g></g></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1125.1, -686)"><use xlink:href="#MJX-12158-TEX-N-33"></use></g><rect width="2510.1" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container>

Schreibe das Interal für die Fläche mit dem Satz von Green auf:

\begin{align*}F=\iint_{G} 1 \ d x d y=\frac{1}{2} \int_{\partial G}\left(\begin{array}{c} -y \\ x \end{array}\right) \cdot d s\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}F=\iint_{G} 1 \ d x d y=\frac{1}{2} \int_{\partial G}\left(\begin{array}{c}
-y \\
x
\end{array}\right) \cdot d s\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="34.49ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 15244.7 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12151-TEX-I-1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 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xlink:href="#MJX-12151-TEX-N-22C5"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(14255.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12151-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(14775.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12151-TEX-I-1D460"></use></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container>

Bei dem Rand kann die Gerade von $(0,0)$ nach $(c \cdot 2 \pi, 0)$ weggelassen werden, da wegen $y=0$ das Kurvenintegral dort wegfällt. Eine Parametrisierung der Spirale reicht daher aus:

Bei dem Rand kann die Gerade von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="(0,0)" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.029ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2222.7 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12152-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12152-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-12152-TEX-N-2C" d="M78 35T78 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xlink:href="#MJX-12153-TEX-N-30"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3559.1, 0)"><use xlink:href="#MJX-12153-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container> weggelassen werden, da wegen <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="y=0" style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12154-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-12154-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-12154-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12154-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8, 0)"><use xlink:href="#MJX-12154-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12154-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> das Kurvenintegral dort wegfällt. Eine Parametrisierung der Spirale reicht daher aus:

\begin{align*}\gamma:[0,2 \pi] \ni \varphi \mapsto\left(\begin{array}{c} c \varphi \cos \varphi \\ c \varphi \sin \varphi \end{array}\right)\end{align*}

<mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}\gamma:[0,2 \pi] \ni \varphi \mapsto\left(\begin{array}{c}
c \varphi \cos \varphi \\
c \varphi \sin \varphi
\end{array}\right)\end{align*}" style="vertical-align: -2.149ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.746ex" height="5.43ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1450 12263.7 2400" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12155-TEX-I-1D6FE" d="M31 249Q11 249 11 258Q11 275 26 304T66 365T129 418T206 441Q233 441 239 440Q287 429 318 386T371 255Q385 195 385 170Q385 166 386 166L398 193Q418 244 443 300T486 391T508 430Q510 431 524 431H537Q543 425 543 422Q543 418 522 378T463 251T391 71Q385 55 378 6T357 -100Q341 -165 330 -190T303 -216Q286 -216 286 -188Q286 -138 340 32L346 51L347 69Q348 79 348 100Q348 257 291 317Q251 355 196 355Q148 355 108 329T51 260Q49 251 47 251Q45 249 31 249Z"></path><path id="MJX-12155-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path><path id="MJX-12155-TEX-N-5B" d="M118 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0)"><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(6101.6, 0)"><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-N-21A6"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(7379.3, 0)"><g data-mml-node="mo"><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-S3-28"></use></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(736, 0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0, 700)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(433, 0)"><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-I-1D711"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1253.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-N-63"></use><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-N-6F" transform="translate(444, 0)"></use><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-N-73" transform="translate(944, 0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2591.7, 0)"><use xlink:href="#MJX-12155-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mi" 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Löse nun das Integral mit der Formel von Green:

\begin{align*} F=&amp; \iint_{G} 1 d x d y = \frac{1}{2} \int_{\partial G}\left(\begin{array}{c} -y \\ x \end{array}\right) \cdot d s \\\\ =&amp; \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(\begin{array}{c} -c \varphi \sin \varphi \\ c \varphi \cos \varphi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c \cos \varphi-c \varphi \sin \varphi \\ c \sin \varphi+c \varphi \cos \varphi \end{array}\right) d \varphi 
\end{align*}

\begin{align*} \ \ \; =&amp; \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(-c^{2} \varphi \sin \varphi \cos \varphi+c^{2} \varphi^{2} \sin ^{2} \varphi+c^{2} \varphi \sin \varphi \cos \varphi+c^{2} \varphi^{2} \cos ^{2} \varphi\right) d \varphi \\\\ =&amp; \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} c^{2} \varphi^{2} d \varphi \\\\
=&amp;\frac{c^{2}}{2}\left[\frac{\varphi^{3}}{3}\right]_{0}^{2 \pi} \\\\ =&amp; \frac{4 c^{2} \pi^{3}}{3} \end{align*}

Gegeben ist ein Gebiet, welches durch die folgende Archimedische Spirale beschrieben wird: \begin{align*}(x, y)=(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)), \quad r=c \varphi, \quad \varphi \in[0,2 \pi], \quad c&gt;0\end{align*} Berechne den Flächeninhalt mit dem Satz von Green. Fertige zunächst eine Skizze an.

Gegeben ist ein Gebiet, welches durch die folgende Archimedische Spirale beschrieben wird: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align*}(x, y)=(r \cos (\varphi), r \sin (\varphi)), \quad r=c \varphi, \quad \varphi \in[0,2 \pi], \quad c>0\end{align*}" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="57.524ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 25425.6 1000" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-12150-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-12150-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 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Fertige zunächst eine Skizze an.

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Satz von Green mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Vektoranalysis und Mehrfachintegrale - Satz von Green | Aufgabe mit Lö

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: