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Aufgabenstellung:

Im Folgenden sind verschiedene Vierpole abgebildet. Stellen Sie zu diesen Vierpolen die
a) Widerstand-Matrix auf und zeigen Sie dass das System kopplungssymmetrisch ist.
b) Leitwert-Matrix auf.

Abbildung

Lösungsweg:

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a) Bestimmen der Widerstandsmatrix

Die Widerstandsmatrizen ergeben sich durch Anwendung der Gleichungen




I. Die Widerstandsmatrix für den VierpolAbbildung

lautet

 

Die Matrix ist somit kopplungssymmetrisch, da gilt .

II. Die Widerstandsmatrix für den Vierpol

Abbildung

ergibt sich zu

Die Matrixelemente und werden zu null, da bei einem Strom von beziehungsweise keine Spannung anliegt. Die Matrix ist kopplungssymmetrisch, denn es gilt .

III. Die Widerstandsmatrix für den Vierpol

Abbildung

ergibt sich zu unendlich, aufgrund der Division mit beziehungsweise .

 

Auch im Aufgabenteil c) ist die Widerstandsmatrix kopplungssymmetrisch, denn es gilt .

b) Bestimmen der Leitwertmatrix

Analog zu den Bestimmungsgleichungen für die Widerstandsmatrix ergibt sich die Leitwertmatrix aus der Anwendung der Gleichungen





I. Die Leitwertmatrix für den Vierpol

Abbildung

ergibt sich zu


Die Leitwerte werden aufgrund der Division mit beziehungsweise zu unendlich.

II. Die Leitwertmatrix für den Vierpol

Abbildung

lautet



Die Matrixelemente und sind null, da ohne eine anliegende Spannung beziehungsweise kein Strom fließen kann.

III. Die Leitwertmatrix für den Vierpol

Abbildung

ergibt sich mit Hilfe der zu Beginn dargestellten Gleichungen zu



Der Widerstand eines Kurzschlusses ist null, der Leitwert hingegen ist unendlich. Umgekehrt ist der
Leitwert einer Unterbrechung null, allerdings der Widerstand unendlich. Aufgrund dessen gibt es Schaltungen, die lediglich mit einer Widerstandsmatrix beschrieben werden können. Andere Schaltungen lassen sich lediglich mit einer Leitwertmatrix beschreiben.

Lösung:

a)

b)