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Aufgabenstellung:

Gegeben ist ein Spannungsteiler, an den der Lastwiderstand angeschlossen wird.

Abbildung

a) Geben Sie die im Widerstand umgesetzte Leistung als Funktion von und an.
b) Wie groß ist die in umgesetzte Leistung für die Grenzfälle und ? Was können Sie über die Leistung in beiden Fällen sagen?
c) Bei welchem Widerstandswert von ist die dort umgesetzte Leistung maximal?

Lösungsweg:

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a) Bestimmen der Leistung von  

Die Schaltung wird zu einer linearen Quelle zusammengefasst, an der der Lastwiderstand angeschlossen ist.

Abbildung

Die Spannung am Lastwiderstand wird mit Hilfe der Spannungsteilerregel berechnet.

Die umgesetzte Leistung ist das Produkt aus Spannung und Strom. Wird der Strom durch das ohmsche Gesetz beschrieben, ergibt sich

Die Spannung wird in die Gleichung eingesetzt und führt zu

b) Berchnung der Leistung für die Grenzfälle

Wird der Ausgang mit einem Kurzschluss belastet, d.h. , kann dort auch keine Spannung abfallen. Im Widerstand kann keine Leistung umgesetzt werden. Der Grenzfall in die Gleichung eingesetzt führt zu

Wird der Ausgang mit Leerlauf betrieben, d.h. , ergibt sich die Leistung zu

Bei unendlich großem Wert von fließt ebenfalls kein Strom. Im Lastwiderstand wird in beiden Grenzfällen keine Leistung umgesetzt.

c) Berechnung des Widerstandes für

Das Prinzip der Leistungsanpassung, welches besagt, dass Innen- und Lastwiderstand für maximale Leistung gleich groß sein müssen, kann direkt verwendet werden.

Alternativ kann der Wert auch berechnet werden, indem der Ausdruck für die Leistung differenziert und zu null gesetzt wird. Hierbei muss die Produktregel angewendet werden.

Der Ausdruck in der linken Klammer muss null werden, damit die gesamte Gleichung null wird.

Die Gleichung wird auf den gemeinsamen Hauptnenner gebracht.

Lösung:

a)

b)

c)