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Aufgabenstellung:

AbbildungDie beiden homogenen Scheiben und (Masse Radius rollen auf der Innenseite des feststehenden Hohlrads (Radius ) ab. Sie sind durch die homogene dünne Stange (Masse miteinander verbunden, an der sie reibungsfrei gelenkig befestigt sind.

Die Stange ist fest mit der homogenen Scheibe (Masse Radius ) verbunden, die im Punkt reibungsfrei gelenkig gelagert ist.

Auf der Rolle ist ein masseloses dehnstarres Seil aufgewickelt, an dem die Masse hängt.

  1. Ermitteln Sie die Geschwindigkeiten und der Punkte und sowie die Winkelgeschwindigkeiten und der Scheiben und sowie der Scheibe und der Stange in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit der Masse
  2. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit der Masse in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg für den Fall, dass das System am Anfang in Ruhe ist.
  3. Ermitteln Sie die Beschleunigung der Masse .

Lösungsweg:

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a) Kinematische Beziehungen

AbbildungAus folgt

Die Punkte und bewegen sich mit der Winkelgeschwindigkeit auf einer Kreisbahn mit Radius um Punkt .Daher gilt::

Die Scheiben und rollen auf der Innenseite des Hohlrads. Daher gilt:

b) Geschwindigkeit

Alle kinematischen Größen lassen sich in Abhängigkeit von der gesuchten Geschwindigkeit ausdrücken.

Die einzige am System angreifende äußere Kraft ist die Gewichtskraft, die eine konservative Kraft ist. Daher kann die Aufgabe mit dem Energieerhaltungssatz gelöst werden.

Der Schwerpunkt des aus den drei Scheiben und dem Arm bestehenden Systems liegt im Punkt , der in Ruhe ist.

Als Bezugspunkt für die Lageenergie dieses Systems wird daher Punkt gewählt.

Als Bezugspunkt für die Lageenergie der Masse wird die Ruhelage gewählt

Damit gilt für die Energien:

Energieerhaltungssatz:

Massenträgheitsmomente:

Mit den kinematischen Beziehungen folgt für die Geschwindigkeit :

c) Beschleunigung

Lösung: