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Aufgabenstellung:

AbbildungDie Rolle (Massenträgheitsmoment ist im Punkt reibungsfrei gelenkig gela gert. Im Punkt ist der masselose Stab gelenkig angeschlossen, der im Punkt durch ein Loslager und eine lineare Feder mit der Federkonstanten gehalten wird. In der Ruhelage ist die Feder entspannt.

Auf der Rolle ist ein masseloses dehnstarres Seil aufgewickelt, an dem die Masse befestigt ist.

  1. Ermitteln Sie unter der Voraussetzung kleiner Verschiebungen die Geschwindigkeit der Masse in Abhängigkeit vom Weg wenn das System aus der Ruhelage losgelassen wird.
  2. Bestimmen Sie die kleinste Auslenkung und die größte Auslenkung

Lösungsweg:

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a) Geschwindigkeit

Abbildung

Die Lage des Systems wird durch die Koordinate vollständig beschrieben. Da nur konservative Kräfte auftreten, kann die Aufgabe mit dem Energieerhaltungssatz gelöst werden.

  • Zustand : Ruhelage wie gezeichnet
  • Zustand : beliebige ausgelenkte Lage

Als Nullniveau für die Lageenergie der Masse wird die Ruhelage gewählt.

Energien:

Energieerhaltungssatz:

Kinematik:

Der Zusammenhang zwischen und kann für kleine Auslenkungen mithilfe des Momentanpols des Stabs bestimmt werden. Für kleine Auslenkungen darf der Momentanpol als ortsfest betrachtet werden.

Abbildung

Für kleine Verschiebungen folgt daraus für :

Einsetzen der kinematischen Beziehungen in den Energieerhaltungssatz ergibt

b) Kleinste und größte Auslenkung

Für die kleinste und die größte Auslenkung ist die Geschwindigkeit null. Daraus folgt

und

Lösung: