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Aufgabenstellung:

AbbildungDas abgebildete Planetengetriebe besteht aus dem Hohlrad mit Innenradius dem Sonnenrad mit Radius drei Planetenrädern mit Radius sowie dem Planetenträger. Die Mittelpunkte der Planetenräder liegen auf einem Kreis mit Radius .

Am Hohlrad greift das Moment am Planetenträger das Moment und am Sonnenrad das Moment an.

Winkelgeschwindigkeiten und Momente sind positiv im Gegenuhrzeigersinn.

Die Massenträgheitsmomente von Hohlrad, Planetenrad, Planententräger und Sonnenrad werden mit und bezeichnet. Das Planetenrad hat die Masse .

Wie groß ist die Winkelbeschleunigung des Hohlrads?

Hinweis: Der Arbeitssatz führt hier nicht zum Ziel. Das Auflösen der mit Schwerpunktsatz und Drallsatz gewonnenen Gleichungen nach der gesuchten Winkelbeschleunigung erfordert etwas Ausdauer.

Lösungsweg:

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Kinematische Beziehungen

Die Vorgabe der Winkelgeschwindigkeit des Hohlrads alleine genügt nicht, um die übrigen kinematischen Größen festzulegen. Um die Kinematik eindeutig festzulegen, müssen zwei Winkelgeschwindigkeiten angegeben werden. Daher kann die Aufgabe nicht mit dem Arbeitssatz gelöst werden.

Als kinematischen Größen werden die Winkelgeschwindigkeiten und gewählt.

Geschwindigkeiten am Planetenrad:

Abbildung

Im Punkt ist das Planetenrad im Kontakt mit dem Hohlrad:

Im Punkt ist das Planetenrad im Kontakt mit dem Sonnenrad

Für die Beschleunigungen folgt:

Kinetische Beziehungen:

Sonnenrad

In tangentialer Richtung greifen die Kräfte A der drei Planetenräder an.

Abbildung

Drallsatz um Punkt S:

Planetenrad

Am Planetenrad greift die Kraft des Sonnenrads, die Kraft des Hohlrads sowie die Kraft des Planetenträgers an.

Abbildung

Schwerpunktsatz:

Drallsatz um Punkt :

Planetenträger

In tangentialer Richtung greifen die Kräfte der Planetenräder an.

Abbildung

Drallsatz um Punkt :

Hohlrad

In tangentialer Richtung greifen die Kräfte  der drei Planetenräder an.

Abbildung

Drallsatz um Punkt :

Auflösen der Gleichungen

Mit den vier Drallsätzen und dem Schwerpunktsatz (5) und den drei kinematischen Beziehungen bis für die Winkelbeschleunigungen und die Beschleunigung stehen acht Gleichungen zur Verfügung, um die vier unbekannten Winkelbeschleunigungen, die unbekannte Beschleunigung der Planetenräder sowie die drei unbekannten Kräfte zu ermitteln.

Aus den Drallsätzen für das Sonnenrad, den Planetenträger und das Hohlrad folgt für die Kräfte :

Einsetzen von und in den Schwerpunktsatz für das Planetenrad führt auf

Einsetzen von und in den Drallsatz für das Planetenrad ergibt

Mit den kinematischen Beziehungen (1) bis (3) folgt:

Die Gleichungen (9) und (10) können z.B. mit der Cramerschen Regel nach der gesuchten Winkelbeschleunigung aufgelöst werden:

Ausrechnen der Determinanten ergibt:

Mit

folgt:

Zusatz: Stationärer Lauf

Im stationären Lauf sind die Winkelbeschleunigungen null, d. h. und . Bei vorgegebenem Moment lassen sich die übrigen beiden Momente berechnen.

Aus den Gleichungen (9) und (10) folgt:

Aus Gleichung (10') folgt

Einsetzen in Gleichung (9') ergibt:

Lösung: