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Aufgabenstellung:

Abbildung

Das abgebildete Dreifachpendel besteht aus den Trägern und Der Träger ist im Punkt gelenkig gelagert. In den Punkten bzw. sind die Träger bzw. gelenkig angeschlossen. Die Lage der Träger wird durch die gegenüber der dargestellten Lage positiv im Gegenuhrzeigersinn gemessenen Winkel und beschrieben.

  1. Bestimmen Sie die Komponenten und der Beschleunigungen der Schwerpunkte und der Träger und in Abhängigkeit von den Winkeln.
  2. Stellen Sie alle kinetischen Gleichungen auf, die nötig sind, um die Bewegung des Systems zu berechnen.
  3. Ermitteln Sie die gekoppelten Differentialgleichungen für die drei Winkel (anspruchsvoll!).

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Beschleunigungen der Schwerpunkte

Zuerst werden die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen der Punkte und bestimmt, in denen die Träger und an den Träger angeschlossen sind.

Träger dreht sich um den ortsfesten Punkt .

Abbildung

Damit gilt für die Geschwindigkeiten der Punkte und :

Für die Komponenten der beiden Geschwindigkeitsvektoren folgt:

Ableiten nach der Zeit ergibt die Beschleunigungen:

Als Bezugspunkt für die Kinematik des Trägers wird Punkt gewählt, dessen Geschwindigkeit und Beschleunigung bereits ermittelt wurde.

Abbildung

Für die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors des Schwerpunkts gilt:

Für die Komponenten des Beschleunigungsvektors folgt:

Einsetzen der Beziehungen für die Beschleunigungen von Punkt ergibt:

Als Bezugspunkt für die Kinematik des Trägers 3 wird Punkt gewählt.

Abbildung

Für die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors des Schwerpunkts gilt:

Für die Komponenten des Beschleunigungsvektors folgt:

Einsetzen der Beziehungen für die Beschleunigungen von Punkt C ergibt:

b) Kinetische Gleichungen

Träger 2 dreht sich um den B. Daher wird der Drallsatz Punkt aufgestellt:

Abbildung

Kürzen durch 2 und Umstellen ergibt:

Für Träger 1 und Träger 3 werden die beiden Schwerpunktsätze und der Drallsatz bezüglich dem Schwerpunkt aufgestellt:

Träger 1

Abbildung

Träger 2

Abbildung

In den Gleichungen (1) bis (11) treten als Unbekannte die vier Komponenten der Beschleunigungen der beiden Schwerpunkte, die vier Komponenten der Kräfte in den Gelenken und und die drei Winkel auf. Insgesamt treten also elf Unbekannte auf. Die aufgestellten Gleichungen reichen daher aus, um die Unbekannten zu bestimmen.

c) Gleichungssystem für die Winkel

Zuerst werden die Kräfte aus den Gleichungen (6), (7), (9) und (10) ermittelt:

Als nächstes werden die Kräfte in die Drallsätze (5), (8) und (11) eingesetzt:

Einsetzen der kinematischen Beziehungen bis in die Gleichungen und ergibt die gesuchten Gleichungen für die Winkel. Dieser Schritt erfordert etwas Ausdauer und Sorgfalt.

Mit

und

folgt aus Gleichung

Mit

folgt aus Gleichung

Mit

folgt aus Gleichung

Die Gleichungen bis stellen ein System von drei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar, dessen Lösungen die Bewegung des Systems beschreiben.

Für die numerische Lösung ist es günstig, die Gleichungen in Matrix-Darstellung zu schreiben:

Das System hat acht Gleichgewichtslagen (welche?), in denen die ersten und die zweiten Ableitungen null sind. Von diesen Gleichgewichtslagen ist nur die Lage mit stabil. Die Existenz von sieben instabilen Gleichgewichtslagen führt dazu, dass sich das System hochgradig chaotisch verhält, d. h. kleine Änderungen der Systemparameter oder der Anfangsbedingungen können zu einem komplett anderen zeitlichen Verlauf der Winkel führen.

Lösung:

Siehe Musterlösung.