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Aufgabenstellung:

AbbildungDie beiden Rollen und sind reibungsfrei gelenkig an eine masselose Stange angeschlossen, die fest mit dem starren Körper verbunden ist. Die Rolle rollt auf der Innenseite und die Rolle auf der Außenseite eines feststehenden Rings ab. Die Stange ist im Punkt reibungsfrei gelenkig gelagert. Die beiden Rollen haben jeweils die Masse und das Massenträgheitsmoment bezüglich der Punkte bzw. Der starre Körper hat die Masse und das Massenträgheitsmoment bezüglich seinem Schwerpunkt, der sich im Punkt befindet

  1. Geben Sie die Lageenergie und die kinetische Energie für die Körper , und in einer beliebigen Lage an. Verwenden Sie dazu die Koordinaten und die Geschwindigkeiten und sowie die Winkelgeschwindigkeiten und Wählen Sie das Nullniveau für die Lageenergie bei
  2. Geben Sie die Koordinaten und in Abhängigkeit vom Winkel sowie die Geschwindigkeiten und und die Winkelgeschwindigkeiten und in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit an.
  3. Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit für mit .

Lösungsweg:

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a) Energien

Lageenergien:

Kinetische Energien:

b) Geometrische und kinematische Beziehungen

Geometrie:

Die Punkte und bewegen sich auf Kreisbahnen um Punkt :

Rollbedingungen:

Der starre Körper ist starr mit der Stange verbunden:

c) Winkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Winkel

Energieerhaltungssatz:

Mit den geometrischen und kinematischen Beziehungen und folgt:

Lösung:

  1.  
  2.