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Aufgabenstellung:

Die Masse wird mithilfe einer Winde gehoben. Die Winde besteht aus zwei reibungsfrei gelenkig gelagerten Rollen mit den Massenträgheitsmomenten und die durch einen massenlosen dehnstarren Riemen verbunden sind. Die linke Rolle wird durch das konstante Moment angetrieben.

Abbildung

  1. Wie hängen die Winkelgeschwindigkeiten und der beiden Rollen von der Geschwindigkeit ab, mit der die Masse angehoben wird?
  2. Welche Beziehung besteht zwischen der Geschwindigkeit und dem Weg um den die Masse angehoben wurde, wenn die Masse anfangs in Ruhe ist?
  3. Welchen Wert hat das kleinste Antriebsmoment , das zum Heben der Last erforderlich ist?
  4. Welche Beschleunigung erfährt die Masse für

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Kinematische Beziehungen

Abbildung

Riemen und Seil sind dehnstarr. Daher gilt:

b) Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg

An dem Gesamtsystem greift die Gewichtskraft und das Antriebsmoment an. Die Aufgabe wird mit dem Arbeitssatz gelöst.

  • Zustand : Ruhezustand
  • Zustand Die Masse hat den Weg nach oben zurückgelegt.
  • Das Nullniveau für die Lageenergie der Masse wird in die Ruhelage gelegt.

Kinetische Energien:

Lageenergien:

Arbeit des Antriebsmoments:

Wird der Winkel aus der Ruhelage gemessen, dann gilt:

Aus folgt:

Damit gilt:

Der Arbeitssatz lautet:

Einsetzen ergibt:

Daraus folgt die gesuchte Größe:

c) Kleinstes Antriebsmoment

Für das kleinste Antriebsmoment ist die Beschleunigung der Masse null. Bei ortsabhängiger Geschwindigkeit gilt für die Beschleunigung:

Aus folgt:

Zahlenwert:

d) Beschleunigung

Mit folgt aus der Formel für die Beschleunigung:

Zahlenwert:

Lösung: