Rotation um eine feste Achse

Allgemeine ebene Bewegung

Systeme von starren Körpern

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>a) Trägheitsmomente für Ausführung  1</p>


<p>\[<br />\begin{array}{|c|c|c|c|c|}<br />\hline &amp; A C &amp; C E &amp; B D &amp; \Sigma \\<br />\hline m &amp; 2 m &amp; m &amp; 2 m &amp; 5 m \\<br />\hline x_{S} &amp; 0 &amp; a / 2 &amp; -a &amp; \\<br />\hline z_{S} &amp; a &amp; 2 a &amp; a &amp; \\<br />\hline J_{z}^{S} &amp; 0 &amp; \frac{1}{12} m a^{2} &amp; \frac{2}{3} m a^{2} &amp; \frac{3}{4} m a^{2} \\<br />\hline x_{S}^{2} m &amp; 0 &amp; \frac{1}{4} m a^{2} &amp; 2 m a^{2} &amp; \frac{9}{4} m a^{2} \\<br />\hline-x_{S} z_{S} m &amp; 0 &amp; -m a^{2} &amp; 2 m a^{2} &amp; m a^{2} \\<br />\hline<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>\[<br /> J_{z \ 1}^{A}=\left(\frac{2}{4}+\frac{9}{4}\right) m a^{2}=3 m a^{2}\]</p>
<p>\[J_{x z \ 1}^{A}=m a^{2}<br />\]</p>


<p>Statisch ausgewuchtet: \( x_{S}=0 \)</p>


<p>Statisch ausgewuchtet: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x_{S}=0 " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.662ex" height="1.881ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2944.6 831.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2664-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2664-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-2664-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2664-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-2664-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(605,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-2664-TEX-I-1D446"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1388.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2664-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2444.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2664-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[\begin{align}<br />&amp;-a m_{B D}+\frac{a}{2} m_{C E}-\frac{a}{2} m_{1}+\frac{a}{2} m_{2}=0 \\<br />\\ &amp; \quad \Rightarrow-m_{1}+m_{2}=2 m_{B D}-m_{C E}=3 m \quad (1)<br />\end{align}\]</p>


<p>Dynamisch ausgewuchtet: \( \quad J_{x z 2}^{A}=0 \)</p>


<p>Dynamisch ausgewuchtet: <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \quad J_{x z 2}^{A}=0 " style="vertical-align: -0.669ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.313ex" height="2.636ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -869.3 4558.4 1165" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2666-TEX-I-1D43D" d="M447 625Q447 637 354 637H329Q323 642 323 645T325 664Q329 677 335 683H352Q393 681 498 681Q541 681 568 681T605 682T619 682Q633 682 633 672Q633 670 630 658Q626 642 623 640T604 637Q552 637 545 623Q541 610 483 376Q420 128 419 127Q397 64 333 21T195 -22Q137 -22 97 8T57 88Q57 130 80 152T132 174Q177 174 182 130Q182 98 164 80T123 56Q115 54 115 53T122 44Q148 15 197 15Q235 15 271 47T324 130Q328 142 387 380T447 625Z"></path><path id="MJX-2666-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-2666-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-2666-TEX-I-1D467" d="M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z"></path><path id="MJX-2666-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-2666-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2666-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msubsup" transform="translate(1000,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D43D" xlink:href="#MJX-2666-TEX-I-1D43D"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(719.9,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-2666-TEX-I-1D434"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(588,-287.9) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-2666-TEX-I-1D465"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(572,0)"><use data-c="1D467" xlink:href="#MJX-2666-TEX-I-1D467"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1037,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2666-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3002.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2666-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4058.4,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2666-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[\begin{align}<br />&amp;m a^{2}+a^{2} m_{1}-\frac{1}{2} a^{2} m_{2}=0 \\\\ <br />&amp; \quad \Rightarrow 2 m_{1}-m_{2}=-2 m \quad (2)<br />\end{align}\]</p>


<p>\[<br />(1)+(2) \ \,  \Rightarrow m_{1}=m <br />\]</p>


<p>\[ (1) \quad \quad \quad \Rightarrow m_{2}=3 m+m_{1}=4 m \]</p>


<p>c) Massenträgheitsmoment für Ausführung 2</p>


<p>\[\begin{align}<br />J_{x z \ 2}^{A}&amp;=3 m a^{2}+\frac{a^{2}}{4}\left(m_{1}+m_{2}\right) \\\\ &amp;=\left(3+\frac{5}{4}\right) m a^{2} \\\\<br />&amp;=\frac{17}{4} m a^{2}<br />\end{align}\]</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6048edd9c08c49af0713d0a7.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6048ede6c08c49af0713d0ac.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>
<p>Das abgebildete System besteht aus den dünnen Stäben \( A C \) (Masse \( \left.m_{A C}\right) \), \( C E \) (Masse \( m_{C E} \) ) und \( B D \) (Masse \( m_{B D} \) ), die starr miteinander verbunden sind. In Ausführung 2 werden zusätzlich zwei Massenpunkte mit den Massen \( m_{1} \) und \( m_{2} \) angeschlossen.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment \( J_{z \ 1}^{A} \) und das Deviationsmoment \( J_{x z \ 1}^{A} \) für Ausführung 1.</li>
<li>Bestimmen Sie die Massen \( m_{1} \) und \( m_{2} \) so, dass das System in Ausführung 2 statisch und dynamisch ausgewuchtet ist.</li>
<li>Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment \( J_{z \ 2}^{A} \) für Ausführung 2.</li>
</ol>
<p><strong>Gegeben:</strong> \( a, \ m, \ m_{A C}=m_{B D}=2 m\), \(m_{C E}=m, \ J_{v v}^{A}=0 \)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Rotation um eine feste Achse mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Kinetik des starren Körpers - Rotation um eine feste Achse | Aufgabe m

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: