Rotation um eine feste Achse

Allgemeine ebene Bewegung

Systeme von starren Körpern

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[\omega=\sqrt{1,5 g\left(\cos \left(\phi_{0}\right)-\cos (\phi)) / a\right.}\]</li>
<li>\[\dot{\omega}=0,75 g \sin (\phi) / a\]</li>
<li>\[N_{A}=3 m g \sin (\phi)\left(3 \cos (\phi)-2 \cos \left(\phi_{0}\right) / 4\right.\] \[N_{B}=m g\left(1+9 \cos ^{2}(\phi)-6 \cos \left(\phi_{0}\right) \cos (\phi) \right.)/ 4\]</li>
</ol>

<p>\[<br />\begin{align}<br />x_{S}&amp;=a \sin (\phi), \quad y_{S}=a \cos (\phi) \\\\<br />v_{S x}&amp;=\dot{x}_{S}=a \cos (\phi) \dot{\phi}=a \omega \cos (\phi) \\\\<br />v_{S y}&amp;=\dot{y}_{S}=-a \sin (\phi) \dot{\phi}=-a \omega \sin (\phi) \\\\<br />a_{S x}&amp;=\dot{v}_{S x}=-a \omega^{2} \sin (\phi)+a \dot{\omega} \cos (\phi) \\\\<br />a_{S y}&amp;=\dot{v}_{S y}=-a \omega^{2} \cos (\phi)-a \dot{\omega} \sin (\phi)<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>Die einzige Kraft, die Arbeit verrichtet, ist die konservative Gewichtskraft. Daher kann die Winkelgeschwindigkeit mit dem Energieerhaltungssatz berechnet werden.</p>


<p>Das Nullniveau für die Lageenergie wird bei $ y=0 $ gewählt. Dann gilt für die Energien:</p>


<p>Das Nullniveau für die Lageenergie wird bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" y=0 " style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2813-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2813-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2813-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-2813-TEX-I-1D466"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2813-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1823.6,0)"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2813-TEX-N-30"></use></g></g></g></svg></mjx-container> gewählt. Dann gilt für die Energien:</p>


<p>\[<br />\begin{array}{|l|l|l|}<br />\hline &amp; \text { Kinetische Energie } &amp; \text { Lageenergie } \\<br />\hline \phi=\phi_{0} &amp; E^{K}\left(\phi_{0}\right)=0 &amp; E^{G}\left(\phi_{0}\right)=m g y_{S}\left(\phi_{0}\right) \\<br />\hline \phi &amp; E^{K}(\phi)=\frac{1}{2} m\left(v_{S x}^{2}+v_{S y}^{2}\right)+\frac{1}{2} J^{S} \omega^{2} &amp; E^{G}(\phi)=m g y_{S}(\phi) \\<br />\hline<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>Der Energieerhaltungssatz lautet:</p>


<p>\[ E^{K}(\phi)+E^{G}(\phi)=E^{K}\left(\phi_{0}\right)+E^{G}\left(\phi_{0}\right) \]</p>


<p>\[<br />\frac{1}{2} m\left(v_{S x}^{2}+v_{S y}^{2}+i_{S}^{2} \omega^{2}\right)+m g y_{S}(\phi)=m g y_{s}\left(\phi_{0}\right) <br />\]</p>


<p>Einsetzen der kinematischen Beziehungen ergibt:</p>


<p>\[<br />\quad \frac{1}{2} m a^{2} \omega^{2}\left(\cos ^{2}(\phi)+\sin ^{2}(\phi)+\frac{i_{S}^{2}}{a^{2}}\right)+m g a \cos (\phi)=m g a \cos \left(\phi_{0}\right)<br />\]</p>


<p>Auflösen nach $\omega$ und nutzen von $ \left(i_{S} / a\right)^{2}=1 / 3$ liefert:</p>


<p>Auflösen nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\omega" style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.407ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 622 454" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2818-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 261Q348 243 338 213T318 158L308 135Q309 133 310 129T318 115T334 97T358 83T393 76Q456 76 501 148T546 274Q546 305 533 325T508 357T495 384Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D714" xlink:href="#MJX-2818-TEX-I-1D714"></use></g></g></g></svg></mjx-container> und nutzen von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \left(i_{S} / a\right)^{2}=1 / 3" style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.487ex" height="2.71ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -948 5961.2 1198" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2819-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-2819-TEX-I-1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-2819-TEX-I-1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path><path id="MJX-2819-TEX-N-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z"></path><path id="MJX-2819-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-2819-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 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52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2819-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2819-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D456" xlink:href="#MJX-2819-TEX-I-1D456"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(378,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D446" xlink:href="#MJX-2819-TEX-I-1D446"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1273.1,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-2819-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1773.1,0)"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-2819-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2302.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2819-TEX-N-29"></use></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(2724.1,477.1) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-2819-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3405.4,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2819-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4461.2,0)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-2819-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4961.2,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-2819-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(5461.2,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-2819-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container> liefert:</p>


<p>\[<br />\omega^{2}=\frac{2 g / a}{1+\left(i_{S} / a\right)^{2}}\left(\cos \left(\phi_{0}\right)-\cos (\phi)\right)<br />\]</p>


<p>\[<br />\omega=\sqrt{\frac{3}{2} \frac{g}{a}\left(\cos \left(\phi_{0}\right)-\cos (\phi)\right)}<br />\]</p>


<p>Aus \[\quad \dot{\omega}=\frac{d \omega}{d \phi} \frac{d \phi}{d t}=\omega \frac{d \omega}{d \phi}=\frac{1}{2} \frac{d \omega^{2}}{d \phi}\] folgt:</p>


<p>Aus <mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad \dot{\omega}=\frac{d \omega}{d \phi} \frac{d \phi}{d t}=\omega \frac{d \omega}{d \phi}=\frac{1}{2} \frac{d \omega^{2}}{d \phi}" style="vertical-align: -2.016ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="31.5ex" height="5.432ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1509.9 13923.2 2400.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2822-TEX-I-1D714" d="M495 384Q495 406 514 424T555 443Q574 443 589 425T604 364Q604 334 592 278T555 155T483 38T377 -11Q297 -11 267 66Q266 68 260 61Q201 -11 125 -11Q15 -11 15 139Q15 230 56 325T123 434Q135 441 147 436Q160 429 160 418Q160 406 140 379T94 306T62 208Q61 202 61 187Q61 124 85 100T143 76Q201 76 245 129L253 137V156Q258 297 317 297Q348 297 348 261Q348 243 338 213T318 158L308 135Q309 133 310 129T318 115T334 97T358 83T393 76Q456 76 501 148T546 274Q546 305 533 325T508 357T495 384Z"></path><path id="MJX-2822-TEX-N-2D9" d="M190 609Q190 637 208 653T252 669Q275 667 292 652T309 609Q309 579 292 564T250 549Q225 549 208 564T190 609Z"></path><path id="MJX-2822-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-2822-TEX-I-1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path><path id="MJX-2822-TEX-I-1D719" d="M409 688Q413 694 421 694H429H442Q448 688 448 686Q448 679 418 563Q411 535 404 504T392 458L388 442Q388 441 397 441T429 435T477 418Q521 397 550 357T579 260T548 151T471 65T374 11T279 -10H275L251 -105Q245 -128 238 -160Q230 -192 227 -198T215 -205H209Q189 -205 189 -198Q189 -193 211 -103L234 -11Q234 -10 226 -10Q221 -10 206 -8T161 6T107 36T62 89T43 171Q43 231 76 284T157 370T254 422T342 441Q347 441 348 445L378 567Q409 686 409 688ZM122 150Q122 116 134 91T167 53T203 35T237 27H244L337 404Q333 404 326 403T297 395T255 379T211 350T170 304Q152 276 137 237Q122 191 122 150ZM500 282Q500 320 484 347T444 385T405 400T381 404H378L332 217L284 29Q284 27 285 27Q293 27 317 33T357 47Q400 66 431 100T475 170T494 234T500 282Z"></path><path id="MJX-2822-TEX-I-1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path><path id="MJX-2822-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-2822-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1000,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D714" xlink:href="#MJX-2822-TEX-I-1D714"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(311,-1) translate(-250 0)"><use data-c="2D9" xlink:href="#MJX-2822-TEX-N-2D9"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1899.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-2822-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2955.6,0)"><g data-mml-node="mrow" transform="translate(220,676)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D451" xlink:href="#MJX-2822-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520,0)"><use data-c="1D714" 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data-c="1D451" xlink:href="#MJX-2822-TEX-I-1D451"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(520,0)"><use data-c="1D719" xlink:href="#MJX-2822-TEX-I-1D719"></use></g></g><rect width="1778.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>\[<br />\quad \dot{\omega}=\frac{3}{4} \frac{g}{a} \sin (\phi)<br />\]</p>


<p>Die Führungskräfte können mit dem Schwerpunktsatz berechnet werden:</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\sum F_{x}&amp;=m a_{S x}: \quad N_{A}=m a_{S x} \\<br />\sum F_{y}&amp;=m a_{S y}: \quad -m g+N_{B}=m a_{S y}<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>Mit den kinematischen Beziehungen für die Beschleunigungen folgt:</p>


<p>\[\quad \begin{align}<br />N_{A}&amp;=m a\left(\dot{\omega} \cos (\phi)-\omega^{2} \sin (\phi)\right) \\\\ N_{B}&amp;=m g-m a\left(\dot{\omega} \sin (\phi)+\omega^{2} \cos (\phi)\right)<br />\end{align}\]</p>


<p>Einsetzen der Beziehungen für die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung ergibt:</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />N_{A} &amp;=m a\left(\frac{3}{4} \frac{g}{a} \sin (\phi) \cos (\phi)-\frac{3}{2} \frac{g}{a}\left(\cos \left(\phi_{0}\right)-\cos (\phi)\right) \sin (\phi)\right) \\<br />&amp;=\frac{3}{4} m g \sin (\phi)\left(3 \cos (\phi)-2 \cos \left(\phi_{0}\right)\right) \\\\<br />N_{B} &amp;=m g-m a\left(\frac{3}{4} \frac{g}{a} \sin ^{2}(\phi)+\frac{3}{2} \frac{g}{a}\left(\cos \left(\phi_{0}\right)-\cos (\phi)\right) \cos (\phi)\right) \\<br />&amp;=\frac{1}{4} m g\left(4-3 \sin ^{2}(\phi)+6 \cos ^{2}(\phi)-6 \cos \left(\phi_{0}\right) \cos (\phi)\right) \\<br />&amp;=\frac{1}{4} m g\left(1+9 \cos ^{2}(\phi)-6 \cos \left(\phi_{0}\right) \cos (\phi)\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>


<p>Die Normalkraft im Punkt $ A $ wird negativ für</p>
<p>\[<br />\quad \cos (\phi) &lt; \frac{2}{3} \cos \left(\phi_{0}\right)<br />\]</p>
<p>Die Normalkraft im Punkt $ B $ bleibt positiv.</p>

<p>Die Normalkraft im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2827-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-2827-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> wird negativ für</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
\quad \cos (\phi) < \frac{2}{3} \cos \left(\phi_{0}\right)
" style="vertical-align: -1.602ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.042ex" height="4.638ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1342 9300.8 2050" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2828-TEX-N-63" d="M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z"></path><path id="MJX-2828-TEX-N-6F" d="M28 214Q28 309 93 378T250 448Q340 448 405 380T471 215Q471 120 407 55T250 -10Q153 -10 91 57T28 214ZM250 30Q372 30 372 193V225V250Q372 272 371 288T364 326T348 362T317 390T268 410Q263 411 252 411Q222 411 195 399Q152 377 139 338T126 246V226Q126 130 145 91Q177 30 250 30Z"></path><path id="MJX-2828-TEX-N-73" d="M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 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height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5985.6,0)"><use data-c="63" xlink:href="#MJX-2828-TEX-N-63"></use><use data-c="6F" xlink:href="#MJX-2828-TEX-N-6F" transform="translate(444,0)"></use><use data-c="73" xlink:href="#MJX-2828-TEX-N-73" transform="translate(944,0)"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7323.6,0)"><use data-c="2061" xlink:href="#MJX-2828-TEX-N-2061"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(7490.2,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-2828-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D719" xlink:href="#MJX-2828-TEX-I-1D719"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(629,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-2828-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1421.6,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-2828-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>Die Normalkraft im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-2829-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-2829-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> bleibt positiv.</p>

<p><img style="float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6048f5e8c08c49af0713e761.png" alt="Abbildung" width="50%" />Die Stange $ A B $ (Masse $ m, $ Trägheitsradius $ \left.i_{S}\right) $ wird in den Punkten $ A $ und $ B $ reibungsfrei in vertikaler bzw. horizontaler Richtung geführt.</p>
<p>Ermitteln Sie</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>die Winkelgeschwindigkeit $ \omega(\phi)=\dot{\phi}(\phi) $ der Stange in Abhängigkeit vom Winkel $ \phi $</li>
<li>die Winkelbeschleunigung $ \dot{\omega}(\phi) $ in $ \mathrm{Ab} $ hängigkeit vom Winkel \phi,</li>
<li>die Führungskräfte $ N_{A}(\phi) $ im Punkt $ A $ und $ N_{B}(\phi) $ im Punkt $ B $ in Abhängigkeit vom Winkel $ \phi $, wenn die Stange mit dem Anfangswinkel $ \phi_{0} $ aus der Ruhe losgelassen wird.</li>
</ol>
<p><strong>Gegeben: </strong>$ i_{S} / a=\sqrt{3} / 3 $</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Allgemeine ebene Bewegung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: