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Aufgabenstellung:

Eine homogene Kugel (Masse Radius ) rollt auf einer Bahn, die durch den Ortsvektor

beschrieben wird. Dabei wird die Ortskoordinate ab dem Punkt gemessen, in dem die Kugel in Ruhe ist.

  1. AbbildungBestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit und die Bahnbeschleunigung . Verwenden Sie dazu den Energieerhaltungssatz.
  2. Bestimmen Sie das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und das OrtZeit-Gesetz wenn die Kugel sich zum Zeitpunkt im Punkt befindet.
  3. Berechnen Sie den Einheitstangentenvektor .
  4. Berechnen Sie die Normalbeschleunigung

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung

Wenn das Nullniveau für die Lageenergie in die -Ebene gelegt wird, gilt für die Energien:

Damit lautet der Energieerhaltungssatz:

Massenträgheitsmoment, Rollbedingung und Ausdruck für aufstllen

Einsetzen in den Energieerhaltungssatz und nach auflösen

Für die Bahnbeschleunigung folgt:

b) Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz und Ort-Zeit-Gesetz

Die Bahnbeschleunigung ist konstant. Damit handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:

Ort-Zeit-Gesetz:

c) Einheitstangentenvektor

d) Normalbeschleunigung

Für den Vektor der Normalbeschleunigung gilt:

Mit

folgt für den Betrag der Normalbeschleunigung:

Lösung: