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Aufgabenstellung:

Abbildung

Abbildung

Das abgebildete System besteht aus der im Punkt A reibungsfrei gelenkig gelagerten homogenen dünnen Stange (Masse der im Punkt reibungsfrei gelenkig gelagerten homogenen Scheibe (Masse und der Last (Masse . Die Last hängt an einem dehnstarren Seil, das auf der Scheibe haftet und im Punkt an der Stange befestigt ist. Im Punkt ist an die Stange eine lineare Feder (Federkonstante ) angeschlossen, die in der Ruhelage entspannt ist.

  1. Geben Sie die Gesamtenergie in der ausgelenkten Lage an.
    Verwenden Sie dabei die eingezeichneten kinematischen Variablen sowie ihre zeitlichen Ableitungen. Die Auslenkung darf als klein angenommen werden. Wählen Sie als Nullniveau für die Lageenergie die Ruhelage.
  2. Ermitteln Sie die kinematischen Beziehungen
  3. Ermitteln Sie die Beschleunigung der Last in Abhängigkeit von der Auslenkung .
  4. Ermitteln Sie die Auslenkung der statischen Gleichgewichtslage.
  5. Ermitteln Sie die Eigenkreisfrequenz der Schwingung um die statische Gleichgewichtslage.

Gegeben:


Lösungsweg:

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a) Gesamtenergie

Mit und gilt für die kinetische Energie:

Die Lageenergie berechnet sich zu:

Für die Federenergie gilt:

Damit folgt für die gesamte Energie:

b) Kinematik

Abbildung

Rolle :

Stange :

c) Beschleunigung der Last

Energieerhaltungssatz:

Mit folgt:

Einsetzen der kinematischen Beziehungen ergibt:

Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

Für die Beschleunigung folgt:

d) Statische Gleichgewichtslage

e) Kreisfrequenz

Lösung: