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Aufgabenstellung:

AbbildungDas abgebildete System besteht aus den reibungsfrei gelenkig gelagerten Rollen , und , über die ein dehnstarres masseloses Seil verläuft. An den Enden des Seils hängen die Massen und (Masse . An der Rolle ist der Balken starr befestigt, der im Punkt durch eine lineare Feder (Federsteifigkeit ) gehalten wird.

Alle drei Rollen sind homogene Scheiben mit Radius und Masse . Die Masse des Balkens darf vernachlässigt werden.

In der dargestellten Lage ist die Feder entspannt, und die Masse hat die Geschwindigkeit .

Die Auslenkungen dürfen als klein angenommen werden.

  1. Ermitteln Sie die kinematischen Zusammenhänge und
  2. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Masse mithilfe des Energieerhaltungssatzes.
  3. Bestimmen Sie die Frequenz der freien Schwingung des Systems.

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Kinematik

b) Geschwindigkeit der Masse

Als Nullniveau für die Massen und wird die dargestellte Lage gewählt.

  • Zustand : dargestellte Lage
  • Zustand : beliebige Lage

Energien:

Energieerhaltungssatz:

Massenträgheitsmomente:

Einsetzen der Massenträgheitsmomente und der kinematischen Beziehungen ergibt:

c) Frequenz

Für die Beschleunigung gilt:

Daraus kann abgelesen werden:

Lösung:

  1.  
  2.