Bewegungsgleichung

Arbeit und Energie

Impuls und Drall

Stoßvorgänge

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>\[<br />v_{E}=24270 \mathrm{~km} / \mathrm{h}<br />\]</p>

<p>Der Weg \( s \) wird ab dem Anfangspunkt bei \( r=r_{0} \) gemessen. Dann gilt:</p>


<p>Der Weg <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" s " style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-127-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-127-TEX-I-1D460"></use></g></g></g></svg></mjx-container> wird ab dem Anfangspunkt bei <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" r=r_{0} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.045ex" height="1.694ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -583 2672.1 748.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-128-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-128-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-128-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-128-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(728.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-128-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1784.6,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-128-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-128-TEX-N-30"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> gemessen. Dann gilt:</p>


<p>\[<br />\sum F_{s}=m a: \quad \gamma \frac{m M}{\left(r_{0}-s\right)^{2}}=m a(s)\]</p>


<p>Daraus folgt für die Beschleunigung:</p>


<p>\[<br />a(s)=\gamma \frac{M}{\left(r_{0}-s\right)^{2}} <br />\]</p>


<p>Die Beschleunigung ist ortsabhängig. Daher gilt für die Geschwindigkeit:</p>


<p>\[\begin{align}<br />v(s)&amp;=\sqrt{v_{0}^{2}+2 \int_{0}^{s} a(\bar{s}) d \bar{s}} \\\\<br />&amp;=\sqrt{v_{0}^{2}+2 \gamma M \int_{0}^{s} \frac{d \bar{s}}{\left(r_{0}-\bar{s}\right)^{2}}} <br />\end{align}\]</p>


<p>\[<br />\quad \begin{align} \int_{0}^{s} \frac{d \bar{s}}{\left(r_{0}-\bar{s}\right)^{2}}&amp;=\left[\frac{1}{r_{0}-\bar{s}}\right]_{\bar{s}=0}^{\bar{s}=s} \\\\<br />&amp;=\frac{1}{r_{0}-s}-\frac{1}{r_{0}} \end{align}\]</p>


<p>Wenn der Meteorit auf die Erde aufschlägt, gilt \( s_{E}=r_{0}-R \). Für seine Geschwindigkeit beim Aufschlag folgt daher:</p>


<p>Wenn der Meteorit auf die Erde aufschlägt, gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" s_{E}=r_{0}-R " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.979ex" height="1.92ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 5294.8 848.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-134-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-134-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path><path id="MJX-134-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-134-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-134-TEX-N-30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path><path id="MJX-134-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-134-TEX-I-1D445" d="M230 637Q203 637 198 638T193 649Q193 676 204 682Q206 683 378 683Q550 682 564 680Q620 672 658 652T712 606T733 563T739 529Q739 484 710 445T643 385T576 351T538 338L545 333Q612 295 612 223Q612 212 607 162T602 80V71Q602 53 603 43T614 25T640 16Q668 16 686 38T712 85Q717 99 720 102T735 105Q755 105 755 93Q755 75 731 36Q693 -21 641 -21H632Q571 -21 531 4T487 82Q487 109 502 166T517 239Q517 290 474 313Q459 320 449 321T378 323H309L277 193Q244 61 244 59Q244 55 245 54T252 50T269 48T302 46H333Q339 38 339 37T336 19Q332 6 326 0H311Q275 2 180 2Q146 2 117 2T71 2T50 1Q33 1 33 10Q33 12 36 24Q41 43 46 45Q50 46 61 46H67Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-134-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(502,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D438" xlink:href="#MJX-134-TEX-I-1D438"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1370,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-134-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2425.8,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-134-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="30" xlink:href="#MJX-134-TEX-N-30"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3535.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-134-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4535.8,0)"><use data-c="1D445" xlink:href="#MJX-134-TEX-I-1D445"></use></g></g></g></svg></mjx-container>. Für seine Geschwindigkeit beim Aufschlag folgt daher:</p>


<p>\[\begin{align}<br />v_{E}=v\left(s_{E}\right)&amp;=\sqrt{v_{0}^{2}+2 \gamma M\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_{0}}\right)} \\\\<br />&amp;=\sqrt{v_{0}^{2}+2 \gamma M \frac{r_{0}-R}{r_{0} R}}<br />\end{align}\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />v_{E} &amp;=\sqrt{\left(\frac{1000}{3,6}\right)^{2} \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}+2 \cdot 6,670 \cdot 10^{-11} \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{kgs}^{2}} \cdot 5,974 \cdot 10^{24} \mathrm{~kg} \cdot \frac{(10000-6371) \cdot 10^{3} \mathrm{~m}}{10000 \cdot 6371 \cdot 10^{6} \mathrm{~m}^{2}}} \\\\<br />&amp;=\sqrt{77160+45390000} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\\\<br />&amp;=6743 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=24270 \mathrm{~km} / \mathrm{h}<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p><img style="float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6045b95480f18686ef11704d.png" alt="Abbildung" width="33%" />Ein Meteorit der Masse \( m \) fliegt auf gerader Bahn der Erde (Masse \( M \) ) entgegen. Auf ihn wirkt die Anziehungskraft</p>
<p>\[\quad F=\gamma \frac{M m}{r^{2}}\]</p>
<p>die zum Erdmittelpunkt hin zeigt. Im Abstand \( r_{0} \) vom Erdmittelpunkt hat er die Geschwindigkeit \( v_{0} \)</p>
<p>Mit welcher Geschwindigkeit \( v_{E} \) schlägt er auf der Erde auf, wenn Widerstandskräfte vernachlässigt werden?</p>
<p> </p>
<p><strong>Gegeben:</strong><br />\[<br />m=5 \mathrm{~kg}, \ M=5,974 \cdot 10^{24} \mathrm{~kg},\  R=6371 \mathrm{~km}\] \[\gamma=6,670 \cdot 10^{-11} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kgs}^{2}\] \[ r_{0}=10000 \mathrm{~km},\ v_{0}=1000 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\]</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Bewegungsgleichung mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Kinetik des Massepunktes - Bewegungsgleichung | Aufgabe mit Lösung

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

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