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Aufgabenstellung:

Abbildung

Auf einem Katapult befindet sich eine Kugel der Masse , die durch eine Feder beschleunigt wird. Die Feder ist am Anfang um die Strecke so zusammengedrückt.

Für die Kraft, die die Feder auf die Kugel ausübt, gilt:

Während der Beschleunigung gleitet die Kugel auf dem Katapult. Der Reibungskoeffizient zwischen Kugel und Katapult ist

Berechnen Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes

  1. die Geschwindigkeit mit der die Kugel das Katapult verlässt,
  2. die maximale Höhe die die Kugel erreicht,
  3. die Geschwindigkeit mit der die Kugel auf den Boden auftrifft.

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Geschwindigkeit beim Verlassen des Katapults

Im Punkt ist die Feder gespannt und die Kugel in Ruhe. Im Punkt ist die Feder entspannt, und die Kugel hat die Geschwindigkeit

An der freigeschnittenen Kugel greifen die Federkraft die Reibungskraft , die Gewichtskraft und die Normalkraft an. Freischnitt:

Abbildung

Zu berechnen ist die von diesen Kräften an der Kugel verrichtete Arbeit.

Aus dem Gleichgewicht in -Richtung folgt:

Damit berechnet sich die Reibungskraft zu:

Die Reibungskraft verrichtet die Arbeit

Die Gewichtskraft verrichtet die Arbeit

Die Federkraft verrichtet die Arbeit

Die kinetische Energie der Kugel am Anfang ist null, da die Kugel in Ruhe ist. Für die kinetische Energie der Kugel beim Verlassen des Katapults gilt

Der Arbeitssatz lautet:

Einsetzen der Ausdrücke für die Arbeiten und Energien ergibt:

Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

Zahlenwert:

b) Maximale Höhe

Skizze:

AbbildungDie maximale Höhe wird in einem Punkt erreicht. In diesem Punkt ist die vertikale Komponente der Geschwindigkeit null.

Auf dem Weg von Punkt nach Punkt wirkt auf die Kugel nur die Gewichtskraft. Sie verrichtet die Arbeit

Während des Wurfs ist die -Komponente der Geschwindigkeit konstant. Die -Komponente der Geschwindigkeit ist bei Erreichen des höchsten Punktes null.

Damit berechnet sich die kinetische Energie im Punkt zu

Der Arbeitssatz lautet:

Einsetzen der Gleichungen für die Energien und die Hubarbeit ergibt

Daraus folgt die gesuchte Größe:

Zahlenwert:

c) Auftreffgeschwindigkeit

Abbildung

Auf dem Weg von Punkt nach Punkt wirkt nur die Gewichtskraft. Sie verrichtet die Arbeit

Der Arbeitssatz lautet:

Mit folgt:

Daraus berechnet sich die Auftreffgeschwindigkeit zu

Zahlenwert:

Lösung: