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Aufgabenstellung:

Auf einem dünnen geraden Draht der Länge ist die Ladung gleichmäßig verteilt. Der Draht liegt symmetrisch zur -Achse auf der -Achse in der Ebene .

Abbildung

a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke , die eine infinitesimale Teilladung im Punkt erzeugt (vgl. Abbildung).

b) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke , welche die gesamte Ladungsverteilung im Punkt erzeugt.

 

Hinweis:

Lösungsweg:

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a) Feldstärke

Für die elektrische Feldstärke einer Punktladung gilt

und für den Betrag

wobei den Vektor zwischen der Punktladung und dem Aufpunkt bezeichnet.

Die elektrische Feldstärke, welche die Teilladung auf der -Achse im Punkt erzeugt, ergibt sich demnach zu

Die Ladung liegt auf der -Achse und der Punkt, in dem die Feldstärke bestimmt werden soll, auf der -Achse.

Damit erhält man mit

b)

Zur Lösung der Teilaufgabe b) wird der Draht in infinitesimal kleine Teilstücke d aufgeteilt, welche jeweils die Ladung tragen. Um das Feld der gesamten Anordnung zu erhalten, müssen sämtliche Teilfelder , die die Teilladungen erzeugen, überlagert werden (Superposition).

Da die Ladung gleichmäßig auf dem Stab verteilt ist, erhält man die Teilladung durch einen einfachen Dreisatz.

Die Superposition wird mittels einer Integration über den Draht durchgeführt. Das von einer Teilladung herrührende Feld wurde bereits unter Aufgabenteil a) bestimmt.

Solche Integrationen können sehr oft durch die Ausnutzung von Symmetrien stark vereinfacht werden. Dies ist auch hier der Fall. Vergleicht man die Teilfelder , die von einem bezüglich der -Achse symmetrischen Teilladungspaar erzeugt werden, so erkennt man, dass die -Komponenten gleich sind und sich die -Komponenten nur im Vorzeichen unterscheiden.

Überlagert man die Felder eines solchen Paares, so heben sich die -Komponenten auf und die Komponenten verstärken sich.

Somit braucht man hier nur noch über die halbe Länge des Stabes integrieren und das Ergebnis mit 2 multiplizieren.

Dadurch, dass die zur -Achse symmetrischen Teilladungen zusammengefasst werden, darf nur noch über die halben Stablänge integriert werden.

Damit ist der elektrotechnische Teil der Aufgabe gelöst Mit dem in der Aufgabenstellung angegebenen Integral ergibt sich

Hinweis:

Für Aufgaben dieses Typs sollte man noch eine Plausibilitätsprüfung durchführen. Eine solche Prifung kann zwar nicht die Richtigkeit des Ergebnisses beweisen, weist aber unter Umständen auf ein falsches Resultat hin.

In einem sehr großen Abstand von einer beliebigen Ladungsanordnung gleicht das elektrische Feld dem einer Punktladung. Nur die Größe der Gesamtladung geht noch in das Ergebnis ein, nicht jedoch deren Verteilung. Dies trifft natürlich auch für diese Aufgabe zu. Für sehr große Werte von kann der Summand unter der Wurzel vernachlässigt werden, und man erhält das Feld einer Punktladung mit dem Wert Q. Lässt man dagegen die Länge des Stabs über alle Grenzen wachsen, kann der Summand gegenüber vernachlässigt werden, und man erhält das Feld einer Linienladung mit der Linienladungsdichte .

Lösung:

a)

b)