Nichtleiter im elektrischen Feld

Potential & Ladung am Kondensator

Kapazität von Kondensatoren

Zusammenschaltung von Kondensatoren

Energie des geladenen Kondensators

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<p>a) \[<br />\begin{array}{l}<br />U_{1}=\underline{65,7 \mathrm{~V}} \\<br />U_{2}=\underline{25,7 \mathrm{~V}}<br />\end{array}<br />\]</p>
<p>b) \[<br />W_{\mathrm{b}}=\underline{1,03 \cdot 10^{-4} \mathrm{~J}}<br />\]</p>

<p>a) Nach der Knotenregel wird beim Schließen des Schalters den beiden Kondensatoren \( C_{1} \) und \( C_{2} \) insgesamt eine elektrische Ladung zugeführt, die gleich der dem Kondensator \( C_{3} \) zugeführten Ladung ist. Es muss also in Bild b</p>


<p>a) Nach der Knotenregel wird beim Schließen des Schalters den beiden Kondensatoren <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C_{1} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.531ex" height="1.934ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1118.6 855" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4115-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path><path id="MJX-4115-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4115-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(715, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4115-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C_{2} " style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.531ex" height="1.934ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1118.6 855" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4116-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path><path id="MJX-4116-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4116-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(715, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4116-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> insgesamt eine elektrische Ladung zugeführt, die gleich der dem Kondensator <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C_{3} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.531ex" height="1.97ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1118.6 870.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4117-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path><path id="MJX-4117-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4117-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(715, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4117-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> zugeführten Ladung ist. Es muss also in Bild b</p>


<p>sein. Weiterhin ergeben sich aus Bild b die Beziehungen</p>


<p>\[<br />U_{1}=U_{\mathrm{a}}-U_{3} <br />\]</p>


<p>\[<br />U_{2}=U_{\mathrm{b}}-U_{3}<br />\]</p>


<p>Wir setzen diesen beiden Gleichungen in die davor stehende Gleichung ein und erhalten</p>


<p>\[<br />C_{1}\left(U_{\mathrm{a}}-U_{3}\right)+C_{2}\left(U_{\mathrm{b}}-U_{3}\right)=C_{3} U_{3}<br />\]</p>


<p>Durch Umstellen nach \( U_{3} \) ergibt sich die an \( C_{3} \) liegende Spannung als</p>


<p>Durch Umstellen nach <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" U_{3} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.458ex" height="1.92ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1086.6 848.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4122-TEX-I-1D448" d="M107 637Q73 637 71 641Q70 643 70 649Q70 673 81 682Q83 683 98 683Q139 681 234 681Q268 681 297 681T342 682T362 682Q378 682 378 672Q378 670 376 658Q371 641 366 638H364Q362 638 359 638T352 638T343 637T334 637Q295 636 284 634T266 623Q265 621 238 518T184 302T154 169Q152 155 152 140Q152 86 183 55T269 24Q336 24 403 69T501 205L552 406Q599 598 599 606Q599 633 535 637Q511 637 511 648Q511 650 513 660Q517 676 519 679T529 683Q532 683 561 682T645 680Q696 680 723 681T752 682Q767 682 767 672Q767 650 759 642Q756 637 737 637Q666 633 648 597Q646 592 598 404Q557 235 548 205Q515 105 433 42T263 -22Q171 -22 116 34T60 167V183Q60 201 115 421Q164 622 164 628Q164 635 107 637Z"></path><path id="MJX-4122-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4122-TEX-I-1D448"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(683, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4122-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> ergibt sich die an <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" C_{3} " style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.531ex" height="1.97ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1118.6 870.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-4123-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path><path id="MJX-4123-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="matrix(1 0 0 -1 0 0)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use xlink:href="#MJX-4123-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(715, -150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use xlink:href="#MJX-4123-TEX-N-33"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> liegende Spannung als</p>


<p>\[<br />U_{3}=\frac{C_{1} U_{\mathrm{a}}+C_{2} U_{\mathrm{b}}}{\mathrm{C}_{1}+C_{2}+C_{3}}=\frac{30 \cdot 120+50 \cdot 80}{30+50+60} \mathrm{~V}=\underline{54,3 \mathrm{~V}}<br />\]</p>


<p>Damit erhalten wir für die beiden anderen gesuchten Spannungen die Werte</p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />U_{1}=U_{\mathrm{a}}-U_{3}=(120-54,3) \mathrm{V}=\underline{65,7 \mathrm{~V}} \\<br />U_{2}=U_{\mathrm{b}}-U_{3}=(80-54,3) \mathrm{V}=\underline{25,7 \mathrm{~V}}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>b) Beim Schließen des Schalters liefert die links angeordnete Spannungsquelle die Ladung</p>


<p>\[<br />Q_{1}=C_{1} U_{1}=30 \cdot 10^{-9} \mathrm{~F} \cdot 65,7 \mathrm{~V}=1,97 \cdot 10^{-6} \mathrm{As}<br />\]</p>


<p>\[<br />W_{\mathrm{a}}=Q_{1} U_{\mathrm{a}}=1,97 \cdot 10^{-6} \mathrm{As} \cdot 120 \mathrm{~V}=2,37 \cdot 10^{-4} \mathrm{~J}<br />\]</p>


<p>Entsprechend ergeben sich für die rechts angeordnete Spannungsquelle</p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />Q_{2}=C_{2} U_{2}=50 \cdot 10^{-9} \mathrm{~F} \cdot 25,7 \mathrm{~V}=1,29 \cdot 10^{-6} \mathrm{As} \\<br />W_{\mathrm{b}}=Q_{2} U_{\mathrm{b}}=1,29 \cdot 10^{-6} \mathrm{As} \cdot 80 \mathrm{~V}=\underline{1,03 \cdot 10^{-4} \mathrm{~J}}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>Die in der Schaltung nach Bild a enthaltenen Kondensatoren haben die Kapazitäten \( C_{1}=30 \mathrm{nF}, C_{2}=50 \mathrm{nF} \) und \( C_{3}=60 \mathrm{nF} \). Die Kondensatoren sind nicht aufgeladen. Die vorhandenen Spannungsquellen liefem die Spannungen \( U_{\mathrm{a}}=120 \mathrm{~V} \) und \( U_{\mathrm{b}}=80 \mathrm{~V} \)</p>
<p> </p>
<p><img src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/606abc742cd8f077662354b3.png" alt="Abbildung" /></p>
<p>Bild: Aufladen von Kondensatoren mit zwei Spannungsquellen.a) Schaltungszustand vor dem Aufladen, b) Schaltungszustand nach dem Aufladen</p>
<p> </p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Welche Spannungen \( U_{1}, U_{2} \) und \( U_{3} \) liegen nach dem Schließen des zweipoligen Schalters entsprechend Bild b an den einzelnen Kondensatoren?</li>
<li>Welche Energien \( W_{\mathrm{a}} \) und \( W_{\mathrm{b}} \) geben die beiden Spannungsquellen beim Schließen des Schalters ab?</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Energie des geladenen Kondensators mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: