Aufgabenstellung:
Gegeben sind drei gleich große Platten im Vakuum mit der Plattenfläche
Der Schalter sei zunächst geöffnet.
- Berechnen sie die elektrische Energie des Gesamtsystems (bei geöffnetem Schalter).
- Wie ändert sich die elektrische Energie des gesamten Systems, wenn die mittlere Platte um die Strecke
verschoben wird?
Die Anordnung befindet sich nun wieder in der Ausgangsstellung (Abbildung) und der Schalter wir geschlossen, so dass die beiden äußeren Platten ideal leitend miteinander verbunden sind.
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Berechnen sie die elektrische Energie des Gesamtsystems (bei geschlossenem Schalter).
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Wie ändert sich die elektrische Energie des gesamten Systems, wenn die mittlere Platte um die Strecke
verschoben wird?
Lösungsweg:
1.Fall: Geöffneter Schalter
a) Energie
Die Ladung auf der mittleren Platte verteilt sich je zur Hälfte auf ihre beiden Seiten. Die Anordnung kann damit wie zwei Kondensatoren betrachtet werden, die beide die Ladung
Die in einem Kondensator gespeicherte Energie ergibt sich zu
Da die Ladung hier die konstante Größe ist und keine externe Spannung angelegt ist, muss die Spannung in Gleichung (1) durch die Ladung ausgedrückt werden.
Die Kapazität des Kondensators erhält man durch die geometrischen Abmessungen und die Permittivität.
Setzt man die Gleichungen (2) und (3) in Gleichung (1) ein, erhält man die in einem Kondensator gespeicherte elektrische Energie. Die Energie des Gesamtsystems erhält man durch Verdopplung des Wertes
b)
Wird nun die mittlere Platte nach rechts verschoben, so bleiben die Ladungen auf den Platten unverändert, aber die Kapazitätsverhältnisse verändern sich. Die Kapazität des linken Kondensators
Die Gesamtenergie des Systems ergibt sich auch hier aus der Summe der Energieinhalte der beiden nun aber verschieden großen - Kondensatoren.
Wie man sieht, hat keine Veränderung der Energie stattgefunden. Zu diesem Ergebnis hätte man auch ohne Rechnung gelangen können. eine Veränderung findet nur dann statt, wenn durch die Verschiebung mechanische Arbeit aufgebracht werden muss. Das elektrische Feld, das die beiden äußeren Platten erzeugen, ist zwischen diesen (äußeren) Platten Null. Die Ladung auf der mittleren Platte befindet sich daher im feldfreien Raum und kann ohne jede Kraft- und Energieaufwendung beliebig hin- und hergeschoben werden.
2.Fall: Geschlossener Schalter
a) Energie
Der Unterschied der Anordnung bei geschlossenem Schalter liegt darin, dass die beiden äußeren Platten nun nicht mehr voneinander isoliert sind, sondern ideal leitend miteinander verbunden sind. Im 2.Fall Aufgabenteil a) steht die mittlere Platte genau in der Mitte zwischen den beiden äußeren. Die gesamte positive Ladung von
b)
Wird nun die mittlere Platte verschoben, so verändern sich nicht nur die Kapazitätsverhältnisse, sondern auch die Verteilung der positiven Ladungen auf den äußeren Platten.
Außerdem besteht jetzt eine weitere Bedingung, die zu erfüllen ist. Da die äußeren Platten miteinander verbunden sind, müssen die Spannungen gegenüber der mittleren Platte gleich groß sein.
Für ein elektrisches Feld, das zwischen zwei entgegengesetzt geladenen Kondensatorplatten herrscht, gilt allgemein
Setzt man die Beziehung aus Gleichung (5) in Gleichung (4) ein, so erhält man das Verhältnis der Teilladungen als Funktion der Plattenabstände.
Da die Summe der beiden Teilladungen gleich
Setzt man Gleichung
Mit der Ladungsverteilung können auch die in den Plattenkondensatoren gespeicherten Energien berechnet werden.
Mit
erhält man
Lösung:
1.Fall:
a)
b)
2.Fall:
a)
b)