Ein kugelförmiger Körper mit dem Radius
Berechnen Sie die in der Anordnung gespeicherten Energie.
Energie
Ist die Kapazität einer Anordnung bekannt, so lässt sich die gespeicherte Energie durch den Ausdruck
Die Energiedichte
beschrieben.
Die in einem Volumen gespeicherte elektrische Energie
In einem linearen isotropen Medium vereinfacht sich Gleichung
Im ersten Schritt muss daher die Raumverteilung des elektrischen Feldes bestimmt werden Es sind drei verschiedene Raumteile mit verschiedenen Feldverteilungen zu berücksichtigen:
1) Raumteil
2) Raumteil
3) Raumteil
Das elektrische Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung ist gleich dem Feld einer Punktladung, welche die gleiche Größe besitzt.
(1) Raumteil
Die in Raumteil 1 vorhandene Ladung ist homogen verteilt. Die in einer Kugelhülle vom Radius
Damit erhält man für das elektrische Feld im Raumteil 1:
Für die Energiedichte ergibt sich
Die in Raumteil 1 gespeicherte Energie erhält man durch Integration der Energiedichtefunktion
(2) Raumteil
Eine durch den Raumteil 2 gelegte Kugelhülle umschließt die gesamte Ladung
Die Gesamtenergie wird auch hier durch die Aufsummierung infinitesimal kleiner Kugelschalen vorgenommen.
(3) Raumteil
Das elektrische Feld im Raumteil 3 scheint bei flüchtiger Betrachtung den gleichen Verlauf wie in Raumteil 2 zu besitzen. Aber Vorsicht! Genau dies ist nicht der Fall.
Die leitende Kugelschale, die den Raumteil 2 von Raumteil 3 abgrenzt, ist geerdet. Dies hat zur Folge, dass die Kugelschale das Potenzial Null besitzt, was erhebliche Auswirkungen auf das elektrische Feld im Raumteil 3 mit sich bringt. Definitionsgemäß ist das Potential im Unendlichen ebenfalls Null.
Nimmt man an, dass das Potenzial in Raumteil 3 nicht überall Null ist, so hat dies aufgrund den Beziehung
zur Folge, dass sich bei dem Potenzialmaximum die Richtung der elektrischen Feldstärke umkehren müsste.
Dies ist jedoch in einem ladungsfreien Raum nicht möglich.
Damit ist bewiesen, dass das elektrische Potential im gesamten Raumteil 3 gleich Null ist. Damit ist aber auch bewiesen, dass Raumteil 3 feldfrei ist und somit keine elektrische Energie speichern kann.
Gesamtenergie
Die gespeicherte Gesamtenergie der Anordnung ergibt sich somit aus der Summe der Energien in Raumteil 1 und 2 .