15 / 18

Aufgabenstellung:

Ein kugelförmiger Körper mit dem Radius und der Permittivität enthält die gleichmäßig über das Volumen verteilte Gesamtladung Der Körper ist von einer ideal leitenden, konzentrischen, geerdeten Kugelschale mit dem Radius umschlossen.

Abbildung

Berechnen Sie die in der Anordnung gespeicherten Energie.

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

Energie

Ist die Kapazität einer Anordnung bekannt, so lässt sich die gespeicherte Energie durch den Ausdruck angeben. Ist die Kapazität hingegen nicht bekannt, muss man einen anderen Weg beschreiten.

Die Energiedichte in einem Punkt P des Raumes wird durch die Beziehung

beschrieben.

Die in einem Volumen gespeicherte elektrische Energie erhält man durch Integration der Energiedichte über den Rauminhalt.

In einem linearen isotropen Medium vereinfacht sich Gleichung zu

Im ersten Schritt muss daher die Raumverteilung des elektrischen Feldes bestimmt werden Es sind drei verschiedene Raumteile mit verschiedenen Feldverteilungen zu berücksichtigen:

1) Raumteil

2) Raumteil

3) Raumteil

Das elektrische Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung ist gleich dem Feld einer Punktladung, welche die gleiche Größe besitzt.

(1) Raumteil

Die in Raumteil 1 vorhandene Ladung ist homogen verteilt. Die in einer Kugelhülle vom Radius enthaltene Teilladung verhält sich daher zur Gesamtladung wie das Volumen der einschließenden Kugel zum Gesamtvolumen des Ladung enthaltenden Raumes.

Damit erhält man für das elektrische Feld im Raumteil 1:

Für die Energiedichte ergibt sich

Die in Raumteil 1 gespeicherte Energie erhält man durch Integration der Energiedichtefunktion über das Gesamtvolumen. Da die Funktion nur vom Radius abhängt, wird die Integration durch die Aufsummierung infinitesimal kleiner Kugelschalen der Dicke realisiert.

(2) Raumteil

Eine durch den Raumteil 2 gelegte Kugelhülle umschließt die gesamte Ladung . Für das elektrische Feld und die Energiedichten ergeben sich daher die Beziehungen

Die Gesamtenergie wird auch hier durch die Aufsummierung infinitesimal kleiner Kugelschalen vorgenommen.

(3) Raumteil

Das elektrische Feld im Raumteil 3 scheint bei flüchtiger Betrachtung den gleichen Verlauf wie in Raumteil 2 zu besitzen. Aber Vorsicht! Genau dies ist nicht der Fall.

Die leitende Kugelschale, die den Raumteil 2 von Raumteil 3 abgrenzt, ist geerdet. Dies hat zur Folge, dass die Kugelschale das Potenzial Null besitzt, was erhebliche Auswirkungen auf das elektrische Feld im Raumteil 3 mit sich bringt. Definitionsgemäß ist das Potential im Unendlichen ebenfalls Null.

Nimmt man an, dass das Potenzial in Raumteil 3 nicht überall Null ist, so hat dies aufgrund den Beziehung

zur Folge, dass sich bei dem Potenzialmaximum die Richtung der elektrischen Feldstärke umkehren müsste.

Dies ist jedoch in einem ladungsfreien Raum nicht möglich.

Damit ist bewiesen, dass das elektrische Potential im gesamten Raumteil 3 gleich Null ist. Damit ist aber auch bewiesen, dass Raumteil 3 feldfrei ist und somit keine elektrische Energie speichern kann.

Gesamtenergie

Die gespeicherte Gesamtenergie der Anordnung ergibt sich somit aus der Summe der Energien in Raumteil 1 und 2 .

Lösung: