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Aufgabenstellung:

Zwischen den Elektroden eines Kugelkondensators liegt die Spannung . Die Permittivität des Materials zwischen den Elektroden sei . Der Radius der Innenelektrode ist , der der äußeren Elektrode

Abbildung

a) Berechnen Sie den Betrag der elektrischen Feldstärke zwischen den beiden Elektroden in Abhängigkeit der gegebenen Parameter und dem Radius .
b) Berechnen Sie die elektrische Energiedichte zwischen den beiden Elektroden in Abhängigkeit der gegebenen Parameter und dem Radius .
c) Berechnen Sie die in dem Kondensator gespeicherte Energie .

Lösungsweg:

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a) Feldstärke 

Zur Berechnung der elektrischen Feldstärke wird das Hüllenintegral herangezogen. Konzentrisch zur Innenelektrode wird eine Hüllfläche gelegt. Aufgrund der Kugelsymmetrie ist der Betrag der elektrischen Feldstärke n jedem Punkt der Hülle gleich groß. Außerdem zeigt der Richtungsvektor der elektrischen Feldstärke überall in die gleiche Richtung wie der Flächennormalenvektor der Hülle. Das Integral vereinfacht sich deshalb zu einem Produkt aus dem Betrag der elektrischen Feldstärke und der Hüllenoberfläche.

Diese Gleichung lässt sich nach aufösen.

Die Ladung aus Gleichung (1) noch unbekannt und muss durch die gegebene Spannung ausgedrückt werden. Die an den Kondensator angelegte Spannung ist gleich der Potenzialdifferenz der beiden Elektroden. Die Potenzialdifferenz erhält man durch die Integration über die elektrische Feldstärke zwischen den Elektroden. Der Integrationsweg ist frei wählbar, deshalb wählen wir einen besonder einfachen Weg, nämlich den eines Radiusvektors von der Innen- zur Außenelektrode.

Gleichung (2) kann nun nach der Ladung aufgelöst und in Gleichung (1) eingesetzt werden

b) Energiedichte

Für die Energiedichte gilt die Beziehung

Setzt man Gleichung (3) in Gleichung (4) ein, erhält man die Lösung des Aufgabenteils b)

c) Energie

Um die gesamte im Kondensator gespeicherte Energie zu erhalten, muss die Energiedichte über das von der elektrischen Energie gefüllte Gebiet zwischen den beiden Elektroden integriert werden.

Da die Energiedichte nur vom Radius abhängig ist, kann das Volumenintegral durch die Aufsummierung von unendlich dünnen Kugelschalen der Dicke gelöst werden.

Alternativer Weg:

Zu diesem Ergebnis hätte man auch auf einem anderen Weg gelangen können. Für die in einer Kondensator gespeicherte Energie gilt auch

Die Kapazität des Kondensators erhält man aus dem Verhältnis der auf dem Kondensator gespeicherten Ladung und der am Kondensator herrschenden Spannung . Damit kann man die Kapazität aus Gleichung (5) erhalten.

Setzt man jetzt Gleichung (7) in Gleichung (6) ein, erhält man

Lösung:

a)

b)

c)