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Aufgabenstellung:

Die in Bild a dargestellte Schaltung enthält zwei Spannungsquellen, die die Spannungen und liefern. Die Frequenzen beider Spannungen sind gleich und betragen . Die Spannung eilt der Spannung um vor. Die vorhandenen Wirkwiderstände haben die Werte und . Die Induktivität der Spule beträgt

 

Es sind die Beträge der drei auftretenden Zweigströme zu bestimmen.

Abbildung

Lösungsweg:

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Berechnung der Zweigströme

Von der vorhandenen Spule bestimmen wir zunächst den Blindwiderstand als

Die Spannung wählen wir als Bezugsgröße und setzen sie reell an . Dann erhalten wir für die um voreilende Spannung den Wert

Wir geben für die gesuchten Ströme die in Bild b eingetragenen Bezeichnungen und Richtungen (Strom-Bezugspfeile) vor. Durch Anwendung der Kirchhoff'schen Gesetze stellen wir drei Gleichungen auf. Die Anwendung des ersten Kirchhoff'schen Gesetzes (Knotenregel) führt zu der Knotengleichung

Zwei weitere Gleichungen erhalten wir durch Anwendung des zweiten Kirchhoff'schen Gesetzes (Maschenregel). So ergibt sich für die linke Masche - wenn wir sie in dem in Bild b eingetragenen Umlaufsinn durchlaufen - die Maschengleichung

Entsprechend finden wir für die rechte Seite

Wir ordnen die Gleichungen nach den Unbekannten und erhalten dadurch

Setzen wir die Zahlenwerte ein, so ergibt sich (in Matrizenschreibweise)

Die Lösungen lauten

Die gesuchten Beträge der Ströme sind also

Lösung: