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Aufgabenstellung:

Ein Kondensator mit der Kapazität ist nach Bild a auf die Spannung aufgeladen. Der Kondensator wird durch das Schließen des vorhandenen Schalters nach Bild b über einen Widerstand an eine Gleichspannung von gelegt.

Es ist der zeitliche Verlauf der am Kondensator liegenden Spannung bestimmen und grafisch darzustellen.

(Der Schaltaugenblick entspreche dem Zeitpunkt

Bild: Einschalten eines ohmsch-kapazitiven Stromkreises. 

Abbildung

a) Schaltung bei geöffnetem Schalter,
c) zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung
b) Schaltung bei geschlossenem Schalter,

Lösungsweg:

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In der Schaltung nach Bild b gilt nach der Maschenregel

Mit wird daraus

Wir verwenden die Lösung:

Hierbei sei die (sich einstellende) stationäre Kondensatorspannung. ist die (vorübergehend auftretende) freie Kondensatorspannung. Aus Bild b ist ersichtlich, dass die (sich einstellende) stationäre Kondensatorspannung

beträgt. Für die freie Kondensatorspannung erhalten wir die allgemeine Lösung

Hierbei stellt eine noch zu bestimmende Konstante dar. Die Größe ist die Zeitkonstante des Ladevorganges. Sie beträgt im vorliegenden Fall

Wir setzen die Ergebnisse ein und erhalten so die allgemeine Lösung für die gesuchte Kondensatorspannung als

Die hierin enthaltene Konstante erhalten wir aus der Anfangsbedingung, also aus der Tatsache, dass sich die Kondensatorspannung nicht sprunghaft ändern kann und daher im Zeitpunkt den Wert haben muss. 

Hieraus folgt, wenn wir berücksichtigen, dass ist,

Wir setzen dieses Ergebnis in Gl. (14.16) ein und finden so die endgültige Lösung als

In Bild c ist dieser Verlauf grafisch dargestellt. Die Kondensatorspannung steigt also vom Anfangswert aus - nach einer e-Funktion mit der Zeitkonstanten auf den Endwert .

Lösung: