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Aufgabenstellung:

Die Schaltung nach Bild a enthält einen Kondensator mit der Kapazität sowie die Wirkwiderstände und . Die Versorgungsspannung beträgt In der Schaltung wird der vorhandene Schalter geschlossen.

Es ist der zeitliche Verlauf der Spannung zu ermitteln und grafisch darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt )

Bild: Schaltvorgang in einem ohmsch-kapazitiven Stromkreis. 

Abbildung

a ) Gegebene Schaltung, b ) Ersatzschaltung nach dem Schließen des Schalters, c) zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung

Lösungsweg:

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Wir ersetzen zunächst die in Bild a aus der Spannungsquelle und den drei Widerständen bestehende Schaltung durch eine Ersatzspannungsquelle nach Bild  b. Dabei ergibt sich für die Quellenspannung, wenn wir die beiden parallel liegenden Widerstände und zu

zusammenfassen, der Wert

Der Innenwiderstand beträgt

In der Schaltung nach Bildb gilt

Mit wird daraus

Zur Lösung dieser Differenzialgleichung stellen wir zunächst die gesuchte Kondensatorspannung durch

dar. Aus Bildb ist ersichtlich, dass die (sich einstellende) stationäre Kondensatorspannung

beträgt. Für die freie Kondensatorspannung erhalten wir die allgemeine Lösung

Hierbei beträgt die Zeitkonstante des Vorganges

Wir setzen die Ergebnisse  ein und finden so die allgemeine Lösung für die gesuchte Kondensatorspannung als

Die hierin enthaltene Konstante gewinnen wir aus der Anfangsbedingung, also aus der Tatsache, dass sich die Kondensatorspannung nicht sprunghaft ändem kann. Vor dem Schließen des Schalters (und damit auch unmittelbar nach dem Schließen des Schalters im Zeitpunkt ) beträgt die Kondensatorspannung (Bild  a)

Wir verwenden diese Bedingung  und erhalten

Hieraus folgt, wenn wir berücksichtigen, dass ist,

Wir setzen dieses Ergebnis ein und finden so die endgültige Lösung als

In Bild c ist dieser Verlauf grafisch dargestellt. Die Kondensatorspannung fällt also vom Anfangswert aus - nach einer e-Funktion mit der Zeitkonstanten auf den Endwert .

Lösung: