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Aufgabenstellung:

Die Reihenschaltung eines Kondensators mit der Kapazität und eines Wirkwiderstandes wird nach Bild a an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen. Deren (sinusförmige) Ausgangsspannung hat eine Frequenz von und einen Scheitelwert von . Der Schalter wird nach dem positiven Spannungs-Nulldurchgang geschlossen.

a) Es ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung zu ermitteln und grafisch darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt )

b) Es ist der zeitliche Verlauf des Stromes zu bestimmen.

 

Abbildung

Bild:Anlegen einer RC-Reihenschaltung an Wechselspannung. a) Gegebene Schaltung, b) zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung (als Überlagerung der stationären Kondensatorspannung und der freien Kondensatorspannung ) sowie zeitlicher Verlauf der Spannung

Lösungsweg:

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a) In der Schaltung nach Bild a gilt

Der Schalter wird um nach dem positiven Nulldurchgang der Wechselspannung geschlossen. Daher können wir diese Spannung durch

darstellen. Da weiterhin ist:

Zur Lösung dieser Differenzialgleichung stellen wir die gesuchte Kondensatorspannung durch

dar. Wir bestimmen hierbei zunächst die stationäre Kondensatorspannung Sie hat bei dem Kondensator-Blindwiderstand

nach der Spannungsteilerregel (Bild a) den Scheitelwert

Die anliegende Spannung ist gegenüber dem stationären Strom um

phasenverschoben. Da wiederum gegenüber um nacheilt, erhalten wir für den Verlauf der stationären Kondensatorspannung durch Vergleich :

Für die freie Kondensatorspannung lautet die allgemeine Lösung

Hierbei beträgt die Zeitkonstante

Setzen wir die Ergebnisse ein, so ergibt sich

Durch Einsetzen der ermittelten Zahlenwerte wird daraus

Die hierin noch zu bestimmende Konstante erhalten wir aus der Tatsache, dass der Kondensator vor dem Schließen des Schalters keine Ladung enthält und somit im Zeitpunkt auch sein muss. Verwenden wir diese Anfangsbedingung, so ergibt sich

Hieraus folgt mit

Wir setzen dieses Ergebnis  ein und erhalten so die endgültige Lösung für den Verlauf der Kondensatorspannung als

Hierin stellt die Kreisfrequenz der Wechselspannung dar. In Bild b ist der Verlauf der Kondensatorspannung Überlagerung der stationären (sinusförmigen) Kondensatorspannung und der (nach einer e-Funktion abklingenden) freien Kondensatorspannung dargestellt. Eingetragen ist auch die Wechselspannung . Deren Periodendauer beträgt .

b) Den gesuchten zeitlichen Verlauf des im Kreis fließenden Stromes erhalten wir aus der Gleichung

Wir setzen die Zahlenwerte ein und erhalten

Lösung:

a)  

b)