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Aufgabenstellung:

Die in Bild a dargestellte Schaltung enthält einen Kondensator mit der Kapazität sowie die Wirkwiderstände und . Die vorhandene Spannungsquelle liefert eine (sinusförmige) Wechselspannung mit dem Scheitelwert und der Frequenz . Der Schalter wird nach dem positiven Spannungs-Nulldurchgang geschlossen. Vor dem Schließen des Schalters ist der Kondensator auf die Spannung aufgeladen.
Es ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung zu ermitteln und grafisch dazustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt

Abbildung

Bild: Schaltvorgang in einem ohmsch-kapazitiven Wechselstromkreis. a) Gegebene Schaltung,
b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung, c) zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung (als Überlagerung der stationären Kondensatorspannung und der freien Kondensatorspannung ) sowie zeitlicher Verlauf der Versorgungsspannung

Lösungsweg:

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Wir ersetzen zunächst in der Schaltung nach Bild a die vorhandene Spannungsquelle sowie die drei Widerstände und durch eine Ersatzspannungsquelle. Es entsteht die Schaltung nach Bild b. Hierbei betragen der Scheitelwert der Quellenspannung

und der Innenwiderstand

In der Schaltung nach Bild b gilt

Da der Schalter in Bild a um den Phasenwinkel nach dem positiven Spannungs-Nulldurchgang der anliegenden Wechselspannung geschlossen wird, können wir die Quellenspannung in Bild b  durch

darstellen. Daher wird mit

Zur Lösung  verwenden wir den Ansatz

Wir bestimmen hierbei zunächst die stationäre Kondensatorspannung Sie hat bei dem Kondensator-Blindwiderstand

nach der Spannungsteilerregel (Bild  b) den Scheitelwert

Die anliegende Spannung ist gegenüber dem stationären Strom

phasenverschoben. Da wiederum gegenüber um nacheilt, erhalten wir für den Verlauf der stationären Kondensatorspannung durch Vergleich

Für die freie Kondensatorspannung lautet die allgemeine Lösung

Hierbei beträgt die Zeitkonstante

Setzen wir die Ergebnisse ein, so ergibt sich

Durch Einsetzen der ermittelten Zahlenwerte wird daraus

Die hierin noch zu bestimmende Konstante erhalten wir aus der Überlegung, dass der Kondensator vor dem Schließen des Schalters - und damit im Zeitpunkt auf die Spannung aufgeladen ist. Verwenden wir diese Anfangsbedingung, so ergibt sich

Hieraus folgt mit

Wir setzen dieses Ergebnis in Gl. (14.53) ein und erhalten so die endgültige Lösung für den Verlauf der Kondensatorspannung als

In dieser Gleichung stellt die Kreisfrequenz der Wechselspannung dar. In Bild c ist der Verlauf der Kondensatorspannung - als Überlagerung der (sinusförmigen) stationären Kondensatorspannung und der (nach einer e-Funktion abklingenden) freien Kondensatorspannung dargestellt. Eingetragen ist auch die Wechselspannung . Deren Periodendauer beträgt .

Lösung: