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Aufgabenstellung:

Ein Kondensator mit der Kapazität soll nach Bild a über eine Spule mit der Induktivität und einen Wirkwiderstand von mit einer Gleichspannungsquelle verbunden und dadurch aufgeladen werden. Die Gleichspannungsquelle liefert .

Es ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung zu ermitteln und grafisch darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt )

Abbildung

Bild:  Aufladen eines Kondensators über eine RL-Reihenschaltung. a) Gegebene Schaltung,
b) Schaltung mit eingetragenen Teilspannungen und eingetragenem Strom, c) zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung - als Überlagerung der (konstanten) Eingangsspannung und zweier (nach e-Funktionen abklingenden) Teilspannungen

Lösungsweg:

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Wir führen nach Bild b die Teilspannungen und sowie den Strom ein. In der Schaltung gilt

Mit

Wir erhalten also eine inhomogene Differenzialgleichung 2. Ordnung. Zu deren Lösung verwenden wir den Ansatz

Hierin stellt die sich (nach längerer Zeit) einstellende stationäre Kondensatorspannung dar. Da in übergeht, muss auch gelten, so dass

Durch Subtraktion ergibt sich:

Hieraus folgt, wenn wir alle Ausdrücke durch teilen,

Die Bestimmung der stationären Kondensatorspannung    können wir anhand von Bild  a leicht vomehmen. Aus der Schaltung ersehen wir, dass sich nach längerer (unendlich langer) Zeit am Kondensator die Spannung

einstellt.
Zur Ermittlung der freien Kondensatorspannung    verwenden wir den Lösungsansatz

Darin sind und noch zu bestimmende Konstanten.

Setzen wir  ein, so ergibt sich

Wir teilen alle Ausdrücke durch und erhalten die quadratische Gleichung

Ihre beiden Lösungen lauten

Damit ergibt sich für die freie Kondensatorspannung die allgemeine Lösung

Zur Bestimmung der hierin enthaltenen Konstanten und setzen  die gegebenen Werte ein und erhalten

Somit lautet die allgemeine Lösung für die Kondensatorspannung:

Da die für und ermittelten Zahlenwerte reell sind, treten keine Schwingungen auf. Man spricht daher auch vom aperiodischen Fall. Zur Bestimmung der noch unbekannten Konstanten und betrachten wir die Anfangsbedingungen der Schaltung. Da sich die Spannung nicht sprunghaft ändern kann, muss - bei einem ungeladenen Kondensator - im Zeitpunkt auch sein. Wir setzen diese Bedingung ein und erhalten

Weiterhin muss im Zeitpunkt auch sein, weil die Spule eine sprunghafte Änderung des Stromes nicht zulässt. Folglich muss wegen im Zeitpunkt ebenfalls sein. Wir differenzieren daher  nach und erhalten

Setzen wir hierin die Anfangsbedingung für so wird

Hieraus folgt mit

Damit stellen diese zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten dar. Setzen wir die Zahlenwerte ein, so erhalten wir (in Matrizenschreibweise)

Die Lösungen sind

Damit lautet die endgültige Lösung für den Verlauf der Kondensatorspannung

Die Kondensatorspannung steigt also nach der angegebenen Gleichung vom Anfangswert aus auf den Endwert an. Die Spannung besteht aus der Überlagerung der (konstanten) Eingangsspannung und zweier Teilspannungen, die nach e-Funktionen mit den Zeitkonstanten und abklingen. Bild c zeigt den gesuchten zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung . Eingetragen sind auch der Verlauf der beiden e-Funktionen sowie die Eingangsspannung .

Lösung: