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Aufgabenstellung:

In der Schaltung nach Bild a wird die Reihenschaltung eines Kondensators mit der Kapazität und einer Spule mit der Induktivität durch Schließen des Schalters an einen Spannungsteiler angeschlossen. Dieser besteht aus zwei gleichen Wirkwiderständen mit je einem Wert , wobei die Eingangsspannung beträgt. Vor dem Schließen des Schalters liegt am Kondensator bereits eine Spannung von .

Es ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung für zu ermitteln und grafisch darzustellen. (Der Schaltzeitpunkt entspreche dem Zeitpunkt

Abbildung

Bild : Schaltvorgang in einem RLC-Stromkreis. a) Gegebene Schaltung, b) elektrisch gleichwertige Ersatzschaltung, c) zeitlicher Verlauf der Kondensatorspannung

Lösungsweg:

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Wir ersetzen zunächst den in Bild a aus der Spannungsquelle sowie den Widerständen und gebildeten Teil der Schaltung durch eine Ersatzspannungsquelle. Es entsteht die Schaltung nach Bild b. Darin betragen die Quellenspannung

und der Innenwiderstand

Es lautet die Differenzialgleichung zur Bestimmung von im vorliegenden Fall

Zu deren Lösung wählen wir den Ansatz

Hierbei ist aus Bild b ersichtlich, dass die stationäre Kondensatorspannung

beträgt. Für die freie Kondensatorspannung lautet die allgemeine Lösung

Für die hierin enthaltenen Konstanten und ergeben sich im vorliegenden Fall die Werte

Wir erhalten also für und konjugiert komplexe Ergebnisse. Diese wollen wir nachfolgend (allgemein) durch

darstellen, wobei im vorliegenden Fall ist und Einsetzen und umformen

Dabei sind und noch zu bestimmende Konstanten. Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass Schwingungen auftreten. Man spricht daher auch vom periodischen Fall. Wir setzen die Ergebnisse  ein und erhalten so die allgemeine Lösung für die Kondensatorspannung als

Die hierin enthaltenen Konstanten und bestimmen wir aus den Anfangsbedingungen. So ist  im  Zeitpunkt   die Kondensatorspannung  . Setzen wir diese Bedingung ein, so ergibt sich

Weiterhin muss im Zeitpunkt auch sein, weil die Spule eine sprunghafte Stromänderung nicht zulässt. Folglich muss wegen im Zeitpunkt ebenfalls sein. Wir differenzieren daher  und erhalten

Setzen wir hierin die Bedingung für ein, so ergibt sich

Hieraus folgt mit

Damit erhalten wir

Setzen wir die gefundenen Werte ein, so finden wir die endgültige Lösung für den Verlauf der Kondensatorspannung als

Die Kondensatorspannung erreicht also - mit einer gedämpften Schwingung der Kreisfrequenz vom Anfangswert aus den Endwert . Dabei betragen die Periodendauer der Schwingung

und die Zeitkonstante des Abklingvorgangs

In Bild  c ist der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung dargestellt.

Lösung: