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Aufgabenstellung:

Bei der Parallelschaltung aus der Abbildung sind die Bauelemente und sowie der komplexe Effektivwert der sinusformigen Quelle bekannt.

Abbildung

a) Geben Sie die Kreisfrequenz an, bei der der Betrag des Stroms doppelt so groß wie ist.
b) Zeichnen Sie für diesen Fall das Zeigerdiagramm der Amplituden von Spannung und Strömen (Maßstab sowie das Operatoren-Diagramm der Admittanzen (Maßstab

c) Skizzieren Sie qualitativ die Frequenzabhängigkeit der Admittanz getrennt für Real und Imaginärteil sowie für Betrag und Phase.

Lösungsweg:

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a) Kreisfrequenz

Gesucht: Kreisfrequenz , bei der der Strom doppelt so groß wie ist.

Gegeben: und

Ansatz Bei der gegebenen Paralellschaltung ist

Die Forderung

führt auf

und damit auf die Bedingung

Aufgelöst nach der gesuchten Kreisfrequenz ergibt sich

und mit gegebenen Werten

b) Zeigerdiagramm

Gesucht: Zeigerdiagramm der Amplituden von Spannungen und Strömen sowie das Operatoren-Diagramm der Admittanzen

Ansatz: Berechnung der Admittanzen und Ströme für gegebenes

Alle erhaltenen Werte werden den vorgegebenen Maßstäben entsprechend in das Stromund Spannungszeiger- sowie das Operatoren-Diagramm der Admittanzen in Aufgabenteil c) eingetragen.

Berechnet ergeben sich zusätzlich



c) Skizze

Gesucht: Die qualitative Frequenzabhängigkeit der Admittanz , getrennt dargestellt für Real- und Imaginärteil sowie für Betrag und Phase.

Abbildung

Strom- und Spannungszeiger - sowie Operatoren Diagramm der Parallelschaltung von und

Ansatz: Trennung von Real- und Imaginärteil der Admittanz - Betrachtung des Verhalt bei verschiedenen Frequenzen

Die Admittanz dargestellt in Abhängigkeit von der Kreisfrequenz

Der Realteil ist also unabhängig von der Kreisfrequenz und der Imaginärteil setzt sich zusammen aus einer Geraden und einer Hyperbel. (siehe folgende Abbildung)

Abbildung

Real- und Imaginärteil der Admittanz abhängig von der Kreisfrequenz

Analog gilt für Betrag und Phase:

wobei sich abhängig von der Kreisfrequenz ergibt

Für den Verlauf des Betrags werden folgende Näherungen betrachtet:

Die oberen Überlegungen sind durch gestrichelte Grenzlinien, so genannte Asymptoten, in der folgenden Abbildung grafisch dargestellt. Für kleine Werte von ergibt sich nach Gleichung (4.9.23) ein hyperbolischer Verlauf, für große Werte von nähert sich die Betragsfunktion asymptotisch der Geraden aus Gleichung (4.9.25) Für den Verlauf der Phase werden folgende Näherungen und Grenzwerte betrachtet:

Abbildung

Verlauf der Arkustangens-Funktion

Je nach Wahl der Parameter und ähnelt der Verlauf des Phasenwinkels nur einem Ausschnitt der Arkustangens-Funktion in der obigen Abbildung , siehe Abbildung unten. Nahezu unverändert wird die Funktion für den Bereich der Gleichungen (??) und (4.9.26) abgebildet. Starke Änderungen treten dagegen oft im Gültigkeitsbereich von Gleichung (??) auf.

AbbildungBetrag und Phasenwinkel der Admittanz abhängig von der Kreisfrequenz

Lösung:

siehe Lösungsweg