Aufgabenstellung:
Gegeben ist das vorliegende Schaltbild eines Bandpasses als Reihenschaltung bestehend aus Verstärker V, Tiefpass TP und Hochpass HP. Der Verstärker V sei frequenzunabhängig und verstärke um den Faktor 10. Der Tiefpass (erster Ordnung) habe eine Grenzfrequenz von
a) Skizzieren sie zunächst (von Hand) die Übertragungsfunktion
im Bode-Diagramm für jedes Element (V, HP, TP) einzeln und überlagern Sie diese anschließend. Markieren Sie wichtige Punkte.
b) Bestimmen Sie die Elemente (aller vier möglichen Kombinationen aus RL- und RC-Schaltungen für beide Filter) bei einem gegebenen Widerstandswert von
c) Bestimmen Sie allgemein die Übertragungsfunktionen der einzelnen Elemente (Verstärker, Tiefpass und Hochpass) und die Gesamtübertragungsfunktion der Reihenschaltung
und bestimmen Sie Amplitunden- und Phasengang
Lösungsweg:
a) Skizze
Zunächst muss der Verstärkungsfaktor des Verstärkers in dB umgerechnet werden.
Es ergibt sich aufgrund der bekannten Formel
eine Verstärkung von
Bei einer Skizze des Bode-Diagramms sind die folgenden Punkte zu beachten:
a) logarithmische Darstellung der Frequenz
b) lineare Darstellung der Amplitude in Dezibel und der Phase in Grad
c) der Anstieg bzw. Abfall der Kurven sind
d) an der Grenzfrequenz ist die Dämpfung der Filter
e) die Phasendrehung beginnt ca. 1 Dekade vor der Grenzfrequenz und endet bei der
f) Reihenschaltungen werden additiv überlagert
Somit ergibt sich das skizziertes Bode-Diagramm aus der folgenden Abbildung
b) Bestimmen der Elemente
Die Filter haben die in der folgenden Tabelle dargestellte Form.
Die in der Tabelle dargestellten Filter lassen sich beliebig kombinieren, also z. B. Hochpass aus Schaltbild 1 und Tiefpass aus Schaltbild 2 .
Die Elemente des Filters berechnen sich nach:
c) Übertragungsfunktion allgmein
Die Übertragungsfunktionen lauten:
Das ergibt umgerechnet in Dezibel
Durch die Frequenzunabhängigkeit ist die Übertragungsfunktion nicht abhängig von der Kreisfrequenz.
Die Zeitkonstante
Die Zeitkonstante
Die Gesamtübertragungsfunktion ergibt sich nicht durch eine simple Verkettung der Klemmen, da sich sonst Maschen bilden würden.
Dies würde gegen das Prinzip der Rückwirkungsfreiheit verstoßen.
Daher muss man sich die Verkettung zweier Schaltungen mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle vorstellen.
Die folgende Abbildung verdeutlicht dies am Beispiel des Übergangs zwischen dem Verstärker und dem Tiefpass.
Ersatzspannungsquelle für den Verstärker
Die Gesamtübertragungsfunktion ergibt sich daher aus der Multiplikation der einzelnen Teilfunktionen.
In der folgenden Abbildung sind der Amplituden- und Phasengang des Bandpasses mit Verstärker dargestellt. (Bode Diagramm)
Lösung:
siehe Lösungsweg