Flächenpressung

KRAFT

Torsion

Schub

Biegung

Zug und Druck

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>$M_{x}^{A B}=-150 \mathrm{Nm}, \ M_{x}^{B C}=60 \mathrm{Nm}$</li>
<li>$\tau_{A B}=-82,83 \mathrm{MPa},\ \tau_{B C}=33,13 \mathrm{MPa}$</li>
<li>$\theta_{B}=-0,9398^{\circ},\ \theta_{C}=-0,1878^{\circ}$</li>
</ol>

<p><strong>a) Torsionsmoment</strong></p>


<p>Gleichgewicht der linken Teilwelle (Abschnitt $ A B $):</p>


<p>Gleichgewicht der linken Teilwelle (Abschnitt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.414ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1509 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-395-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-395-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-395-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(750,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-395-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container>):</p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />\sum M_{x}=0: M_{A}+M_{x}=0 \\<br />\Rightarrow M_{x}=-M_{A}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>$ \quad M_{x}^{A B}=-150 \mathrm{Nm} $</p>


<p>Gleichgewicht der rechten Teilwelle (Abschnitt $ B C $):</p>


<p>Gleichgewicht der rechten Teilwelle (Abschnitt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B C " style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.437ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1519 727" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-398-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path><path id="MJX-398-TEX-I-1D436" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q484 659 454 652T382 628T299 572T226 479Q194 422 175 346T156 222Q156 108 232 58Q280 24 350 24Q441 24 512 92T606 240Q610 253 612 255T628 257Q648 257 648 248Q648 243 647 239Q618 132 523 55T319 -22Q206 -22 128 53T50 252Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-398-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(759,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-398-TEX-I-1D436"></use></g></g></g></svg></mjx-container>):</p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />\sum M_{x}=0:-M_{x}+M_{C}=0 \\<br />\Rightarrow M_{x}=M_{C}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>$ \quad M_{x}^{B C}=60 \mathrm{Nm} $</p>


<p><strong>b) Schubspannungen</strong></p>


<p>\begin{align}<br />W_{T}&amp;=\frac{1}{2} \frac{\pi}{R_{a}}\left(R_{a}^{4}-R_{i}^{4}\right)=\frac{\pi}{16} \frac{d_{a}^{4}-d_{i}^{4}}{d_{a}} \\</p>
<p>&amp;=\frac{\pi}{16} \frac{25^{4} \mathrm{~mm}^{4}-20^{4} \mathrm{~mm}^{4}}{25 \mathrm{~mm}}=1811 \mathrm{~mm}^{3}<br />\end{align}</p>


<p>Für die Berechnung der Schubspannung gilt $ \tau=\frac{M_{x}}{W_{T}} $. Somit folgt für die einzelnen Abschnitte:</p>


<p>Für die Berechnung der Schubspannung gilt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \tau=\frac{M_{x}}{W_{T}} " style="vertical-align: -1.021ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.622ex" height="3.135ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -934.5 3368.8 1385.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-402-TEX-I-1D70F" d="M39 284Q18 284 18 294Q18 301 45 338T99 398Q134 425 164 429Q170 431 332 431Q492 431 497 429Q517 424 517 402Q517 388 508 376T485 360Q479 358 389 358T299 356Q298 355 283 274T251 109T233 20Q228 5 215 -4T186 -13Q153 -13 153 20V30L203 192Q214 228 227 272T248 336L254 357Q254 358 208 358Q206 358 197 358T183 359Q105 359 61 295Q56 287 53 286T39 284Z"></path><path id="MJX-402-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-402-TEX-I-1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path><path id="MJX-402-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-402-TEX-I-1D44A" d="M436 683Q450 683 486 682T553 680Q604 680 638 681T677 682Q695 682 695 674Q695 670 692 659Q687 641 683 639T661 637Q636 636 621 632T600 624T597 615Q597 603 613 377T629 138L631 141Q633 144 637 151T649 170T666 200T690 241T720 295T759 362Q863 546 877 572T892 604Q892 619 873 628T831 637Q817 637 817 647Q817 650 819 660Q823 676 825 679T839 682Q842 682 856 682T895 682T949 681Q1015 681 1034 683Q1048 683 1048 672Q1048 666 1045 655T1038 640T1028 637Q1006 637 988 631T958 617T939 600T927 584L923 578L754 282Q586 -14 585 -15Q579 -22 561 -22Q546 -22 542 -17Q539 -14 523 229T506 480L494 462Q472 425 366 239Q222 -13 220 -15T215 -19Q210 -22 197 -22Q178 -22 176 -15Q176 -12 154 304T131 622Q129 631 121 633T82 637H58Q51 644 51 648Q52 671 64 683H76Q118 680 176 680Q301 680 313 683H323Q329 677 329 674T327 656Q322 641 318 637H297Q236 634 232 620Q262 160 266 136L501 550L499 587Q496 629 489 632Q483 636 447 637Q428 637 422 639T416 648Q416 650 418 660Q419 664 420 669T421 676T424 680T428 682T436 683Z"></path><path id="MJX-402-TEX-I-1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D70F" xlink:href="#MJX-402-TEX-I-1D70F"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(794.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-402-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(1850.6,0)"><g data-mml-node="msub" transform="translate(243.8,451.6) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-402-TEX-I-1D440"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1003,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-402-TEX-I-1D465"></use></g></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44A" xlink:href="#MJX-402-TEX-I-1D44A"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(977,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D447" xlink:href="#MJX-402-TEX-I-1D447"></use></g></g></g><rect width="1278.2" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container>. Somit folgt für die einzelnen Abschnitte:</p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />\text { Abschnitt } A B: \quad \tau_{A B}=\frac{-150 \cdot 10^{3} \mathrm{Nmm}}{1811 \mathrm{~mm}^{3}}=-82,83 \mathrm{MPa} \\<br />\text { Abschnitt } B C: \quad \tau_{B C}=\frac{60 \cdot 10^{3} \mathrm{Nmm}}{1811 \mathrm{~mm}^{3}}= 33,13 \mathrm{MPa}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>Bei konstantem Torsionsmoment ist die Verdrillung konstant. Daher gilt für die Verdrehungen relativ zu Zahnrad $ A $ :</p>


<p>Bei konstantem Torsionsmoment ist die Verdrillung konstant. Daher gilt für die Verdrehungen relativ zu Zahnrad <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-404-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-404-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>


<p>\[<br />\theta_{B}=\frac{M_{x}^{A B} L_{A B}}{G I_{T}}</p>
<p>\]</p>
<p>\[</p>
<p>\theta_{C}=\theta_{B}+\frac{M_{x}^{B C} L_{B C}}{G I_{T}}<br />\]</p>


<p>\begin{align}<br />I_{T}&amp;=\frac{1}{2} \pi\left(R_{a}^{4}-R_{i}^{4}\right)=\frac{\pi}{32}\left(d_{a}^{4}-d_{i}^{4}\right) \\</p>
<p>&amp;=\frac{\pi}{32}\left(25^{4} \mathrm{~mm}^{4}-20^{4} \mathrm{~mm}^{4}\right)=22640 \mathrm{~mm}^{4}<br />\end{align}</p>


<p>\[<br />G I_{T}=80769 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} \cdot 22640 \mathrm{~mm}^{4}=1,829 \cdot 10^{9} \mathrm{Nmm}^{2}=1,829 \cdot 10^{7} \mathrm{Ncm}^{2}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\theta_{B}&amp;=\frac{-15000 \mathrm{Ncm} \cdot 20 \mathrm{~cm}}{1,829 \cdot 10^{7} \mathrm{Ncm}^{2}}=-1,640 \cdot 10^{-2}=0,9398^{\circ} \\<br />\theta_{C}&amp;=-1,640 \cdot 10^{-2}+\frac{6000 \mathrm{Ncm} \cdot 40 \mathrm{~cm}}{1,829 \cdot 10^{7} \mathrm{Ncm}^{2}}=-3,278 \cdot 10^{-3}=-0,1878^{\circ}<br />\end{align}<br />\]</p>

<p> </p>
<p><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/602f588c2fe7b3a4e586c711.png" alt="Abbildung" /></p>
<p>Auf einer Hohlwelle (Außendurchmesser $ d_{a} $, Innendurchmesser $ d_{i} $ ) aus Stahl sitzen drei Zahnräder $ A, B $ und $ C, $ an denen die Momente $ M_{A}, M_{B} $ und $ M_{C} $ angreifen.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Ermitteln Sie den Verlauf des Torsionsmoments entlang der Welle</li>
<li>Bestimmen Sie die größten Schubspannungen $ \tau_{A B} $ und $ \tau_{B C} $ in den $ A b- $ schnitten $ A B $ und $ B C$</li>
<li>Ermitteln Sie die Verdrehungen $ \theta_{B} $ und $ \theta_{C} $ der Zahnräder $ B $ und $ C $ relativ zu Zahnrad $ A $</li>
</ol>
<p> </p>
<p><strong>Gegeben:</strong></p>
<p>\begin{align} <br />d_{a}&amp;=25 \mathrm{~mm}, \ d_{i}=20 \mathrm{~mm}, \ L_{A B}=20 \mathrm{~cm}, \ L_{B C}=40 \mathrm{~cm} \\<br />M_{A}&amp;=150 \mathrm{Nm}, \  M_{B}=210 \mathrm{Nm}, M_{C}=60 \mathrm{Nm}, \\<br />G&amp;=80769 \mathrm{MPa} <br />\end{align}</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Torsion mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: