KIT - Klausuren - TM3

TUHH-TM3

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\[<br />\left[\begin{array}{cc}m_{1} &amp; 0 \\ 0 &amp; m_{2}\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}\ddot{x}_{1} \\ \ddot{x}_{2}\end{array}\right)+\left[\begin{array}{cc}c+c_{\text {Balken }} &amp; -c \\ -c &amp; c\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}F_{0} \\ 0\end{array}\right) \cos \Omega t <br />\] </li>
<li>\[c=m_{2} \cdot \Omega^{2}=\frac{m_{1}}{10} \cdot \Omega^{2}\]</li>
</ol>

<p>Ersatzmodell entspricht der Abbildung aus der Aufgabenstellung.</p>


<p>Damit Federsteifigkeit des Balkens in Balkenmitte:</p>


<p>\[ c_{\text { Balken }}=\frac{48 E I}{l^{3}} \)</p>


<p>Aufstellen der Bewegungsgleichungen:</p>


<p>\[<br />m_{1} \cdot \ddot{x}_{1}+c_{\text {Balken }} \cdot x_{1}-c \cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)=F_{0} \cdot \cos \Omega t <br />\]</p>


<p>\[<br />m_{2} \cdot \ddot{x}_{2}+c \cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)=0 <br />\]</p>


<p>\[<br />\left[\begin{array}{cc}m_{1} &amp; 0 \\ 0 &amp; m_{2}\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}\ddot{x}_{1} \\ \ddot{x}_{2}\end{array}\right)+\left[\begin{array}{cc}c+c_{\text {Balken }} &amp; -c \\ -c &amp; c\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}F_{0} \\ 0\end{array}\right) \cos \Omega t <br />\]</p>


<p>b) Tilgung bei äußerer Anregung:</p>


<p>\[<br />A=\left[\bar{K}-\Omega^{2} \bar{M}\right] \cdot \hat{x}_{P}=F_{0} <br />\]</p>


<p>\[\begin{align}<br />\left[\begin{array}{cc}<br />c_{\text { Balken }}+c-m_{1} \cdot \Omega^{2} &amp; -c \\<br />-c &amp; c-m_{2} \cdot \Omega^{2}<br />\end{array}\right] \cdot\left\{\begin{array}{l}<br />\hat{x}_{1 P} \\<br />\hat{x}_{2 P}<br />\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{l}<br />F_{0} \\<br />0<br />\end{array}\right\} <br />\end{align}\]</p>


<p>Berechnen der Inversen nach Cramer</p>


<p>\[<br />\Delta=\operatorname{det}|A| \quad \Delta_{i}=\operatorname{det} |A_{i}|<br />\]</p>


<p>\[<br />\Delta=\left(c_{\text {Balken }}+c-m_{1} \cdot \Omega^{2}\right) \cdot\left(c-m_{2} \cdot \Omega^{2}\right)-c_{2}^{2} <br />\]</p>


<p>\begin{align}<br />A_{1}=\left[\begin{array}{cc}<br />F_{0} &amp; -c \\<br />0 &amp; c-m_{2} \cdot \Omega^{2}<br />\end{array}\right] \qquad \Rightarrow \operatorname{det}\left|A_{1}\right|=F_{0} \cdot\left(c-m_{2} \cdot \Omega^{2}\right)<br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />A_{2}=\left[\begin{array}{cc}<br />c_{\text {Ballen }}+c-m_{1} \cdot \Omega^{2} &amp; F_{0} \\<br />-c &amp; 0<br />\end{array}\right] \qquad \Rightarrow \operatorname{det}\left|A_{2}\right|=F_{0} \cdot c<br />\end{align}</p>


<p>\[<br />x_{1 P}=\frac{\operatorname{det}\left(A_{1}\right)}{\operatorname{det}(A)}=\frac{F_{0} \cdot\left(c-m_{2} \cdot \Omega^{2}\right)}{\Delta} <br />\]</p>


<p>\[<br />x_{2 P}=\frac{\operatorname{det}\left(A_{2}\right)}{\operatorname{det}(A)}=\frac{F_{0} \cdot c}{\Delta} <br />\]</p>


<p>\[<br />\left(c-m_{2} \cdot \Omega^{2}\right)=0  \quad \Rightarrow x_{1 P}=0 <br />\]</p>


<p>\[<br />c=m_{2} \cdot \Omega^{2}=\frac{m_{1}}{10} \cdot \Omega^{2} <br />\]</p>

<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 50%; height: auto; float: right;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/607e72b85f0da69d76678375.png" alt="Abbildung" width="480" height="368" />Auf einem beidseitig gelagerten masselosen elastischen Balken befindet sich mittig eine Masse \( m_{1} . \) Im Schwerpunkt der Masse greift eine harmonische Kraft \( F=F_{0} \cdot \cos \Omega t \) an.</p>
<p class="horizontalLayoutText">Ebenfalls mittig ist über eine lineare elastische Feder \( c \) eine zweite Masse \( m_{2} \) befestigt.</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li class="horizontalLayoutText">Stellen Sie die Bewegungsgleichung bezüglich der dargestellten generalisierten Koordinaten \( x_{1} \) und \( x_{2} \) auf.</li>
<li class="horizontalLayoutText">Welche Steifigkeit \( c \) muss die lineare elastische Feder haben, damit der Balken trotz der periodischen Anregung nicht schwingt?</li>
</ol>
<p><strong>Gegeben:</strong> Masse \( m_{1} ; \) Masse \( m_{2}=\frac{m_{1}}{10} ; \) Biegesteifigkeit \(\mathrm{El};\) Balkenlänge \( l ;\) anregende Kraft \( F=F_{0} \cdot \cos \Omega t \)</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: TUHH-TM3 mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: