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Aufgabenstellung:

Abbildung

Der dargestellte homogene Kragträger mit Länge und dreieckigem Profilquerschnit (gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge ) wird am freien Ende durch eine unter dem Winkel zur Horizontalen angreifende Einzelkraft belastet (siehe auch zweite Skizze).

  1. Bestimmen Sie die horizontale und vertikale Auslenkung am Ende des Trägers
  2. Das dreieckförmige Profil soll durch ein Profil mit rechteckigem Querschnitt ersetzt werden. Bestimmen Sie die erforderlichen Abmessungen des Profils, so dass am Trägerende bei der selben Kraft, die unter dem selben Winke angreift, eine identische Verformung auftritt.

Abbildung

Gegeben:

Lösungsweg:

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a) Verformung am Trägerende

Nach Aufgabenstellung handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge . Daraus folgt, dass der Angriffswinkel der Kraft beträgt. Zur Lösung der Aufgabe bietet es sich an, in einem nach der Kraft ausgerichteten Koordinatensystem zu arbeiten, da in diesem Fall gerade Biegung auftritt.

Skizze der Koordinatentransformation

Abbildung

Für den vorliegenden Biegefall gelten für die maximal auftretenden Verformungen die Zusammenhänge (z.B. aus Biegelinientafel):

Bei der gegebenen Belastung ergibt sich:

Rücktransformation ins ursprüngliche Koordinatensystem:

Abbildung

Die Flächenmomente 2. Ordnung (bezüglich des Schwerpunktes) eines Dreiecks betragen:

mit für ein gleichseitiges Dreieck

Diese gelten auch für das gedrehte Koordinatensystem: ,

Fügt man alles zusammen, kommt man zum Ergebnis:

b) Ersatzträger

Abbildung

Für die Verformung gilt (analoger Biegefall):

Mit kann die Kraft entsprechend aufgeteilt werden:

Die Flächenmomente 2. Ordnung für einen Rechtecksquerschnitt lauten:

Über die Forderungen können die gesuchten Abmessungen bestimmt werden:

Nach kürzen und zusammenfassen ergeben sich die Ausdrücke:

Auflösen liefert nach einigen Zwischenschritten:

Es wird also ein Viereckprofil der Kantenlänge

benötigt

Alternativ folgt auch direkt aus den vereinfachten Ausdrücken erkannt werden, dass beide Beziehungen nur für erfüllt sind. Damit ist:

Setzt man dies in die Forderung der gleichen Verschiebungen ein, folgt ebenfalls:

Lösung: