Elastizitätsgesetz

Verzerrungen

Ebener Spannungszustand

Dünnwandige Druckbehälter

Zugstab

Funktionsfolgen

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Geraden und Ebenen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Siehe Lösungsweg</li>
<li>\( \sigma_{1}=220 \mathrm{MPa}, \ \sigma_{2}=20  \mathrm{MPa}, \ \phi_{1}=18,43^{\circ} \)</li>
<li>\( I_{1}=240 \mathrm{MPa}, \ I_{2}=4400 \mathrm{MPa}^{2}\)</li>
<li>\( \sigma_{V, S H}=220 \mathrm{MPa}, \ \sigma_{V, G H}=210,7 \mathrm{MPa} \)</li>
<li>\( \varepsilon_{x}=8,952 \cdot 10^{-4}, \  \varepsilon_{y}=-9,524 \cdot 10^{-5},\ \gamma_{x y}=7,429 \cdot 10^{-4}\)</li>
</ol>

<p>\begin{align}<br />\sigma_{M}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{x}}{2}&amp;=\frac{200+40}{2} \mathrm{MPa}=120 \mathrm{MPa} \\<br />\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}&amp;=\frac{200-40}{2} \mathrm{MPa}=80 \mathrm{MPa} \end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\tau_{\max }&amp;=\sqrt{80^{2}+60^{2}} \mathrm{MPa}=\sqrt{10000} \mathrm{MPa}=100 \mathrm{MPa} \\<br />\sigma_{1}&amp;=120 \mathrm{MPa}+100 \mathrm{MPa}=\underline{220 \mathrm{MPa}} \\<br />\sigma_{2}&amp;=120 \mathrm{MPa}-100 \mathrm{MPa}=\underline{20 \mathrm{MPa}}<br />\end{align}</p>


<p>\begin{align}<br />\tan \left(2 \phi_{H}\right)&amp;=\frac{60}{80}=\frac{3}{4} \quad \Rightarrow 2 \phi_{H}=36,87^{\circ} \\<br />\tau_{x y} &amp;&gt; 0 \quad \quad \quad \quad \ \Rightarrow \phi_{1}=18,43^{\circ}<br />\end{align}</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\begin{align}
\tan \left(2 \phi_{H}\right)&=\frac{60}{80}=\frac{3}{4} \quad \Rightarrow 2 \phi_{H}=36,87^{\circ} \\
\tau_{x y} &> 0 \quad \quad \quad \quad \ \Rightarrow \phi_{1}=18,43^{\circ}
\end{align}" style="vertical-align: -3.275ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="40.319ex" height="7.681ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1947.5 17820.9 3395" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-1041-TEX-N-74" d="M27 422Q80 426 109 478T141 600V615H181V431H316V385H181V241Q182 116 182 100T189 68Q203 29 238 29Q282 29 292 100Q293 108 293 146V181H333V146V134Q333 57 291 17Q264 -10 221 -10Q187 -10 162 2T124 33T105 68T98 100Q97 107 97 248V385H18V422H27Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-N-61" d="M137 305T115 305T78 320T63 359Q63 394 97 421T218 448Q291 448 336 416T396 340Q401 326 401 309T402 194V124Q402 76 407 58T428 40Q443 40 448 56T453 109V145H493V106Q492 66 490 59Q481 29 455 12T400 -6T353 12T329 54V58L327 55Q325 52 322 49T314 40T302 29T287 17T269 6T247 -2T221 -8T190 -11Q130 -11 82 20T34 107Q34 128 41 147T68 188T116 225T194 253T304 268H318V290Q318 324 312 340Q290 411 215 411Q197 411 181 410T156 406T148 403Q170 388 170 359Q170 334 154 320ZM126 106Q126 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231 76 284T157 370T254 422T342 441Q347 441 348 445L378 567Q409 686 409 688ZM122 150Q122 116 134 91T167 53T203 35T237 27H244L337 404Q333 404 326 403T297 395T255 379T211 350T170 304Q152 276 137 237Q122 191 122 150ZM500 282Q500 320 484 347T444 385T405 400T381 404H378L332 217L284 29Q284 27 285 27Q293 27 317 33T357 47Q400 66 431 100T475 170T494 234T500 282Z"></path><path id="MJX-1041-TEX-I-1D43B" d="M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 219 683Q260 681 355 681Q389 681 418 681T463 682T483 682Q499 682 499 672Q499 670 497 658Q492 641 487 638H485Q483 638 480 638T473 638T464 637T455 637Q416 636 405 634T387 623Q384 619 355 500Q348 474 340 442T328 395L324 380Q324 378 469 378H614L615 381Q615 384 646 504Q674 619 674 627T617 637Q594 637 587 639T580 648Q580 650 582 660Q586 677 588 679T604 682Q609 682 646 681T740 680Q802 680 835 681T871 682Q888 682 888 672Q888 645 876 638H874Q872 638 869 638T862 638T853 637T844 637Q805 636 794 634T776 623Q773 618 704 340T634 58Q634 51 638 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data-c="2218" xlink:href="#MJX-1041-TEX-N-2218"></use></g></g></g></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />I_{1}: \ \quad \ \,  \sigma_{x}+\sigma_{y}=240 \mathrm{MPa}, \quad \sigma_{1}+\sigma_{2}=240 \mathrm{MPa} \\<br />I_{2}: \ \ \sigma_{x} \sigma_{y}-\tau_{x y}^{2}=4400 \mathrm{MPa}^{2}, \quad \ \sigma_{1} \sigma_{2}=4400 \mathrm{MPa}^{2}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\sigma_{V, S H} &amp;=\max \left(\left|\sigma_{1}-\sigma_{2}\right|,\left|\sigma_{1}\right|,\left|\sigma_{2}\right|\right)=\max (200,220,20) \mathrm{MPa}=220 \mathrm{MPa} \\<br />\sigma_{V, G H} &amp;=\sqrt{\sigma_{1}^{2}-\sigma_{1} \sigma_{2}+\sigma_{2}^{2}}=\sqrt{220^{2}-220 \cdot 20+20^{2}} \mathrm{MPa}=\sqrt{44400} \mathrm{MPa} \\<br />&amp;=210,7 \mathrm{MPa}<br />\end{aligned}</p>


<p>Alternativ:</p>
<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\sigma_{V, G H} &amp;=\sqrt{\sigma_{x}^{2}-\sigma_{x} \sigma_{y}+\sigma_{y}^{2}+3 \tau_{x y}^{2}}=\sqrt{200^{2}-200 \cdot 40+40^{2}+3 \cdot 60^{2}} \mathrm{MPa} \\<br />&amp;=\sqrt{44400 \mathrm{MPa}}=210,7 \mathrm{MPa}<br />\end{aligned}</p>


<p>\[<br />G=\frac{E}{2(1+v)}=\frac{210000 \mathrm{MPa}}{2 \cdot 1,3}=80769 \mathrm{MPa}<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{array}{l}<br />\epsilon_{x}=\frac{\sigma_{x}-v \sigma_{y}}{E}=\frac{200-0,3 \cdot 40}{210000}=8,952 \cdot 10^{-4} \\<br />\epsilon_{y}=\frac{\sigma_{y}-v \sigma_{x}}{E}=\frac{40-0,3 \cdot 200}{210000}=-9,524 \cdot 10^{-5}<br />\end{array}<br />\]</p>


<p>\[<br />\gamma_{x y}=\frac{\tau_{x y}}{G}=\frac{60}{80769}=7,429 \cdot 10^{-4}<br />\]</p>

<p>Gegeben sind die Spannungen \( \sigma_{x}=200 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=40 \mathrm{MPa} \) und \( \tau_{x y}=60 \mathrm{MPa} \) sowie der Elastizitätsmodul \( E=210000 \mathrm{MPa}\) und die Querkontraktionszahl \( v=0,3 \)</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Zeichnen Sie den Mohrschen Spannungskreis und tragen Sie die Richtung der 1.Hauptachse ein.</li>
<li>Berechnen Sie die Hauptspannungen \( \sigma_{1} \) und \( \sigma_{2} \) sowie die Richtung \( \phi_{1} \) der 1.Hauptachse.</li>
<li>Überprüfen Sie die Ergebnisse aus Teilaufgabe b) mithilfe der Spannungsinvarianten.</li>
<li>Berechnen Sie die Vergleichsspannungen \( \sigma_{V, S H} \) nach der Schubspannungshypothese und \( \sigma_{V, G H} \) nach der Gestaltänderungshypothese.</li>
<li>Berechnen Sie die Verzerrungen \( \varepsilon_{x}, \varepsilon_{y} \) und \( \gamma_{x y} \).</li>
</ol>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Elastizitätsgesetz mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Ebene Elastizitätstheorie - Elastizitätsgesetz | Aufgabe mit Lösung

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