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Aufgabenstellung:

Eine Kugelschale mit um den Koordinatennullpunkt enthält die positive Raumladungsverteilung . Die Gebiete und sind ladungsfrei. Die Permittivität ist in allen Raumbereichen gleich .

Abbildung

a) Wie groß ist die Gesamtladung der Kugelschale?
b) Geben Sie die Potenzialfunktion und die elektrische Feldstärke in allen drei Raumteilen an.

Lösungsweg:

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a) Gesamtladung 

Die Gesamtladung der Anordnung erhält man, indem man die Raumladungsverteilung über den kugelförmigen Bereich integriert, in dem die Raumladung enthalten ist.

Da die Raumladungsverteilung lediglich eine Abhängigkeit in radialer Richtung besitzt, kann über eine Folge infinitesimal dünner Kugelschalen der Dicke integriert werden.

b) Potenzialfunktionen

Die Bestimmung der Feldstärke und des Potenzials muss für jeden der drei Raumteile separat durchgeführt werden. Am zweckmäßigsten beginnt man mit dem Raumteil . Weshalb dies am zweckmäßigsten ist, wird sich im Laufe der Rechnung zeigen.

Zur Bestimmung des elektrischen Feldes, bzw. des Potenzials einer kugelsymmetrischen Anordnung, legt man eine konzentrische kugelförmige Hüllfäche um die Ladungsverteilung und wendet dann die elementare Beziehung

an.

Aufgrund der Kugelsymmetrie besitzt die elektrische Flussdichte überall auf der Hüllfläche den gleichen Betrag und zeigt in die gleiche Richtung wie deren Flächennormalenvektor. Der Integralausdruck vereinfacht sich damit zu einem einfachen Skalarprodukt.

Raumteil 3

Für Raumteil 3 mit gilt:

Da die Hüllfläche die gesamte unter a) berechnete Ladung einschließt, gilt

Zur Bestimmung des Betrags der elektrischen Feldstärke, muss Gleichung (2) noch umgestellt werden.

Da die Ladung positiv und die Anordnung kugelsymmetrisch ist, besitzt die elektrische Feldstärke nur eine radiale Komponente.

Das Potenzial erhält man durch Integration der elektrischen Feldstärke.

Vereinbarungsgemäß ist das Potenzial im Unendlichen gleich Null. Lässt man in Gleichung (3) über alle Grenzen wachsen, so wird das Potenzial, wie es auch sein muss, zu Null.

Raumteil 2

Im Raumteil , ist die Vorgehensweise genau die gleiche. Allerdings gibt es hier einen wesentlichen Unterschied. Da die Hüllffäche innerhalb des Raumladungsgebietes liegt, wird nicht mehr die gesamte Ladung, sondern nur noch ein Teil umschlossen.

Die vom Radius abhängige Ladung erhält man, indem man in Gleichung die obere Grenze durch ersetzt.

Mit den Gleichungen (4) und (5) erhält man die elektrische Feldstärke in Raumteil 2

Auch hier wird das Potenzial durch Integration über die elektrische Feldstärke berechnet. Um für die Raumbereiche 2 und 3 das Bezugspotential in den gleichen Punkt zu legen, muss die Potenzialfunktion hier um eine Konstante ergänzt werden.

Da Potenzialfunktionen stetig sein müssen, muss im Raumteil 3 und im Raumteil 2 für das gleiche Potenzial herrschen. Aus dieser Stetigkeitsbedingung kann die Größe bestimmt werden.

Aus Gleichung (3) erhält man

und aus Gleichung

Das Potenzial in Raumteil 2 setzt sich damit folgendermaßen zusammen

Raumteil 1

Im Raumteil l ist keine Ladung vorhanden. Aus dem Hüllenintegral folgt, dass die elektrische Feldstärke überall Null ist.

Die Potenzialfunktion ist infolgedessen eine Konstante. Da die Potenziale in Raumteil 2 und Raumteil 1 bei stetig ineinander übergehen müssen, folgt

Lösung:

a)

b) Teil 1:

Teil 2:

Teil 3: