Eine Kugelschale mit
a) Wie groß ist die Gesamtladung
b) Geben Sie die Potenzialfunktion und die elektrische Feldstärke in allen drei Raumteilen an.
a) Gesamtladung
Die Gesamtladung der Anordnung erhält man, indem man die Raumladungsverteilung über den kugelförmigen Bereich integriert, in dem die Raumladung enthalten ist.
Da die Raumladungsverteilung lediglich eine Abhängigkeit in radialer Richtung besitzt, kann über eine Folge infinitesimal dünner Kugelschalen der Dicke
b) Potenzialfunktionen
Die Bestimmung der Feldstärke und des Potenzials muss für jeden der drei Raumteile separat durchgeführt werden. Am zweckmäßigsten beginnt man mit dem Raumteil
Zur Bestimmung des elektrischen Feldes, bzw. des Potenzials einer kugelsymmetrischen Anordnung, legt man eine konzentrische kugelförmige Hüllfäche um die Ladungsverteilung und wendet dann die elementare Beziehung
an.
Aufgrund der Kugelsymmetrie besitzt die elektrische Flussdichte
Raumteil 3
Für Raumteil 3 mit
Da die Hüllfläche die gesamte unter a) berechnete Ladung einschließt, gilt
Zur Bestimmung des Betrags der elektrischen Feldstärke, muss Gleichung (2) noch umgestellt werden.
Da die Ladung positiv und die Anordnung kugelsymmetrisch ist, besitzt die elektrische Feldstärke nur eine radiale Komponente.
Das Potenzial
Vereinbarungsgemäß ist das Potenzial im Unendlichen gleich Null. Lässt man
Raumteil 2
Im Raumteil
Die vom Radius
Mit den Gleichungen (4) und (5) erhält man die elektrische Feldstärke in Raumteil 2
Auch hier wird das Potenzial durch Integration über die elektrische Feldstärke berechnet. Um für die Raumbereiche 2 und 3 das Bezugspotential in den gleichen Punkt zu legen, muss die Potenzialfunktion hier um eine Konstante
Da Potenzialfunktionen stetig sein müssen, muss im Raumteil 3 und im Raumteil 2 für
Aus Gleichung (3) erhält man
und aus Gleichung
Das Potenzial in Raumteil 2 setzt sich damit folgendermaßen zusammen
Raumteil 1
Im Raumteil l ist keine Ladung vorhanden. Aus dem Hüllenintegral folgt, dass die elektrische Feldstärke überall Null ist.
Die Potenzialfunktion
a)
b) Teil 1:
Teil 2:
Teil 3: