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Aufgabenstellung:

Drei gleiche, sehr große und sehr dünne leitende Platten liegen parallel übereinander im Abstand bzw. Die innere Platte trägt die Ladung Die beiden äußeren Platten sind geerdet.

Abbildung

Welche Ladungen und befinden sich auf der oberen und der unteren Oberfläche der inneren Platte?

Hinweis:
Randeffekte sind zu vernachlässigen. Für einen Plattenkondensator gilt: .

Lösungsweg:

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Ladung

Die Summe der Ladungen auf der oberen und der unteren Seite der mittleren Platte muss gleich der Gesamtladung sein, die die Platte trägt.

Durch Influenz werden die freien Ladungsträger auf der oberen und unteren Platte derart verschoben, dass sich auf der Oberseite der unteren Platte die Ladung und auf der Unterseite der oberen Platte die Ladung einstellt. Zwischen der oberen und der mittleren Platte herrscht die elektrische Verschiebungsdichte bzw. die elektrische Feldstärke und zwischen der unteren und der mittleren Platte herrscht die elektrische Verschiebungsdichte bzw. die elektrische Feldstärke .

Abbildung

Zur Bestimmung der elektrischen Erregung und wird eine quaderförmige Hüllfläche konstruiert, deren eine Seiten durch die mittlere Platte verläuft. Die gegenüberliegende Hüllfächenseite verläuft in dem von der mittleren und der unteren Platte gebildeten Zwischenraum parallel zu den Platten.

Unter Vernachlässigung der Randeffekte liefern die vier Seiten der Hüllffäche, die nicht parallel zu den großen Oberflächen der Platten verlaufen keinen Beitrag zum Hüllintegral (dort ist kein Feld vorhanden). Die Fläche, die durch die Mitte der mittleren Platte verläuft, liefert ebenfalls keinen Beitrag, da das innere eines leitenden Körpers ebenfalls feldfrei ist. Es verbleibt lediglich eine anteilige Fläche in der Größe der Kondensatorplatte.

Damit gilt:

üü

Für das elektrische Feld ergibt sich durch die Beziehung :

Das elektrische Feld ist homogen und damit unabhängig vom Ort. Die Feldsträken und werden auf die gleiche Weise bestimmt:

Für den nächsten Schritt gibt es (zumindest rechnerisch) zwei Wege:

1. Weg

Durch die Erdung befinden sich die obere und die untere Platte auf dem Potential Null. Die mittlere Platte hat jedoch ein von Null verschiedenes Potential Das Potential erhält man durch Integration der elektrischen Feldstärke sowohl über den oberen als auch den unteren Plattenzwischenraum.

2.Weg

Man kann auch sagen, dass die Spannung zwischen der mittleren und der oberen Platte genauso groß ist wie die Spannung zwischen der mittleren und der unteren Platte; also

Nutzt man die Beziehung zwischen der elektrischen Feldstärke und der an den Elektroden anliegenden Spannung eines Plattenkondensators , so ergibt sich wie unter 1 :

Gleichsetzen der Beziehungen aus Gleichung (2) und (3) ergibt die Beziehung

Und mit Gleichung (1.1) folgt daraus

Lösung: