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Aufgabenstellung:

Eine massive Halbkugelschale mit der Leitfähigkeit , dem Innenradius und dem Außenradius ist an der inneren und äußeren Schale mit einem ideal leitenden Material beschichtet. An der inneren Kontaktierung wird der Strom eingespeist und an der äußeren Kontaktierung wieder abgegriffen. Es wird angenommen, dass sich der Strom an den Kontaktflächen gleichmäßig verteilt.

Abbildung

a) Berechnen Sie den Strom als Funktion des Radius für den Bereich .
b) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke als Funktion des Radius für den Bereich

c) Berechnen Sie die Spannung als Funktion des Radius für den Bereich
d) Berechnen Sie die Spannung , die sich zwischen der Innen- und der Außenschale einstellt.
e) Berechnen Sie den elektrischen Widerstand der Kugelschale zwischen den kontaktierten Anschlüssen.
f) Berechnen Sie den elektrischen Widerstand der Kugelschale zwischen den kontaktierten Anschlüssen für den Fall, dass der äußere Radius gegen Unendlich geht.

Hinweis:
Für eine geschlossene Hüllfläche gilt:

Lösungsweg:

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Allgemein

Legt man um einen stromdurchflossenen Raum eine beliebige Hüllfäche, so gilt ganz allgemein das Hüllintegral

Aufgrund der Kugelsymmetrie der Anordnung kann die Stromdichte nur eine radiale Komponente besitzen (die allerdings nicht auf eine Ebene beschränkt ist, sondern räumlich - aufgrund der Halbkugel - zu verstehen ist)

Abbildung

a) Strom

Als Hüllfäche wird eine Halbkugeloberfläche gewählt. Diese Hüllfäche lässt sich in die halbe Kugeloberfläche und die Schnittfläche zerlegen.

Da das Strömungsfeld nur eine radiale Komponente besitzt, liefert das Skalarprodukt nur für die Kugeloberfläche einen von Null verschiedenen Beitrag.

Durch Umstellen erhält man die gesuchte Stromdichteverteilung

b) Feldstärke

Das elektrische Strömungsfeld und die elektrische Feldstärke sind über die spezifische Leitfähigkeit des Materials miteinander verknüpft.

c) Spannung

Die Spannung erhält man durch die Integration der elektrischen Feldstärke

d) Spannung

Zur Bestimmung des Spannungsabfalls zwischen dem Innen- und Außenanschluss muss in Gleichung (1) bzw. (2) für den Radius der Außenradius eingesetzt werden.

e) Widerstand

Den Widerstand der Kugelschale erhält man aus dem Verhältnis des die Schale durchfließenden Stromes und der an der Halbkugelschale abfallenden Spannung

f) Widerstand

Bei der Grenzwertbetrachtung ist es bemerkenswert, dass der Widerstand der Anordnung einen endlichen Wert annimmt, wenn der Außenradius über alle Grenzen anwächst.

Lösung:

a)

b)

c)

d)

e)

f)