Balkensysteme

Stabsysteme

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

<p>\begin{align}<br />A_{z}&amp;=C_{z}=3 q_{0} a / 8 \ \uparrow \\\\<br />B_{z}&amp;=5 q_{0} a / 4 \ \uparrow \\\\<br />\left|M_{y}\right|_{\max }&amp;=q_{0} a^{2} / 8 \text { in Punkt } B<br />\end{align}</p>

<p>Das System ist 1 -fach statisch unbestimmt. Entfernen des Lagers im Punkt \( B \) führt auf ein statisch bestimmtes Grundsystem.</p>

<p>Das System ist 1 -fach statisch unbestimmt. Entfernen des Lagers im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-303-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-303-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> führt auf ein statisch bestimmtes Grundsystem.</p>

<p>Lastfall 0 : konstante Streckenlast</p>

<p>\begin{align} <br />\sum M^{A}=0: &amp; \quad  2 a C_{0 z}-2 q_{0} a^{2}=0 \\ <br />&amp;\Rightarrow C_{0 z}=q_{0} a \\\\<br />\sum M^{C}=0: &amp;\quad -2 a A_{0 z}+2 q_{0} a^{2}=0 \\ <br />&amp;\Rightarrow A_{0 z}=q_{0} a \end{align}</p>

<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;Q_{0 z}(x)=-\frac{q_{0}(2 a)}{2}\left(2 \frac{x}{2 a}-1\right)=-q_{0} a\left(\frac{x}{a}-1\right) \\\\<br />&amp;M_{0 y}=-\frac{q_{0}(2 a)^{2}}{2}\left[\left(\frac{x}{2 a}\right)^{2}-\frac{x}{2 a}\right]=-\frac{q_{0} a^{2}}{2}\left[\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-2 \frac{x}{a}\right]<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>\begin{align}<br />w_{0}(x)&amp;=\frac{q_{0}(2 a)^{4}}{24 E I_{y}}\left[\left(\frac{x}{2 a}\right)^{4}-2\left(\frac{x}{2 a}\right)^{3}+\frac{x}{2 a}\right] \\<br />&amp;=\frac{q_{0} a^{4}}{24 E I_{y}}\left[\left(\frac{x}{a}\right)^{4}-4\left(\frac{x}{a}\right)^{3}+8 \frac{x}{a}\right]<br />\end{align}</p>

<p>Durchbiegung im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-307-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-307-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>

<p>Lastfall 1: Kraft <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-309-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-309-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>

<p>\begin{align} <br />\sum M^{A}=0: \quad a B_{z}+2 a C_{1 z}=0 \\ \Rightarrow C_{1 z}=-\frac{1}{2} B_{z} \\\\<br />\sum M^{C}=0: \quad -2 a A_{1 z}-a B_{z}=0 \\ \Rightarrow A_{1 z}=-\frac{1}{2} B_{z} <br />\end{align}</p>

<p>\[<br />\begin{aligned}<br />&amp;Q_{1 z}(x)=-B_{z}\left[1-\frac{1}{2}-\left\langle\frac{x}{2 a}-\frac{1}{2}\right\rangle^{0}\right]=-\frac{B_{z}}{2}\left[1-2\left\langle\frac{x}{a}-1\right\rangle^{0}\right] \\<br />&amp;M_{1 y}(x)=-2 a B_{z}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right) \frac{x}{2 a}-\left\langle\frac{x}{2 a}-\frac{1}{2}\right\rangle\right]=-\frac{B_{z} a}{2}\left[\frac{x}{a}-2\left\langle \frac{x}{a}-1\right\rangle\right]<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>\[<br />\begin{aligned}<br />w_{1}(x) &amp;=-\frac{B_{z}(2 a)^{3}}{6 E I_{y}}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\left(2-\frac{1}{2}\right) \frac{x}{2 a}-\left(\frac{x}{2 a}\right)^{3}\right)+\left\langle\frac{x}{2 a}-\frac{1}{2}\right\rangle^{3}\right] \\<br />&amp;=-\frac{B_{z} a^{3}}{12 E I_{y}}\left[3 \frac{x}{a}-\left(\frac{x}{a}\right)^{3}+2\left\langle\frac{x}{a}-1\right\rangle^{3}\right]<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>Durchbiegung im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-313-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-313-TEX-I-1D435"></use></g></g></g></svg></mjx-container> :</p>

<p>\begin{align}<br />w_{B}&amp;=w_{0 B}+w_{1 B}=0 \\\\<br />\Rightarrow &amp; \frac{5}{24} \frac{q_{0} a^{4}}{E I_{y}}-\frac{B_{z} a^{3}}{6 E I_{y}}=0 \\\\ <br />\Rightarrow &amp; B_{z}=\frac{30}{24} q_{0} a=\frac{5}{4} q_{0} a<br />\end{align}</p>

<p>\[<br />\begin{align}<br />A_{z}&amp;=A_{0 z}+A_{1 z}=q_{0} a-\frac{1}{2} \frac{5}{4} q_{0} a=\frac{3}{8} q_{0} a \\\\ B_{z}&amp;=\frac{5}{4} q_{0} a \\\\<br />C_{z}&amp;=C_{0 z}+C_{1 z}=q_{0} a-\frac{1}{2} \frac{5}{4} q_{0} a=\frac{3}{8} q_{0} a<br />\end{align}<br />\]</p>

<p>\[<br />\begin{aligned}<br />Q_{z}(x)=Q_{0 z}(x)+Q_{1 z}(x) &amp;=-q_{0} a\left[\frac{x}{a}-1+\frac{5}{8}\left(1-2 \left\langle \frac{x}{a}-1\right\rangle^{0}\right)\right] \\\\<br />&amp;=\frac{q_{0} a}{8}\left(3-8 \frac{x}{a}+10\left\langle\frac{x}{a}-1\right\rangle^{0}\right)<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>\[<br />\begin{aligned}<br />M_{y}(x)=M_{0 y}(x)+M_{1 y}(x) &amp;=-\frac{q_{0} a^{2}}{2}\left[\left(\frac{x}{a}\right)^{2}-2 \frac{x}{a}+\frac{5}{4}\left(\frac{x}{a}-2\left\langle\frac{x}{a}-1\right\rangle\right)\right] \\\\<br />&amp;=\frac{q_{0} a^{2}}{8}\left[3 \frac{x}{a}-4\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+10\left\langle\frac{x}{a}-1\right\rangle\right]<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p>\[<br />\left|M_{y \max }\right|=\left|M_{y}(a)\right|=\frac{q_{0} a^{2}}{8}|3-4|=\frac{q_{0} a^{2}}{8}<br />\]</p>

<p>\[<br />\begin{aligned}<br />w(x)=w_{0}(x)+w_{1}(x) &amp;=\frac{q_{0} a^{4}}{24 E I_{y}}\left[\left(\frac{x}{a}\right)^{4}-4\left(\frac{x}{a}\right)^{3}+8 \frac{x}{a}-\frac{5}{2}\left(3 \frac{x}{a}-\left(\frac{x}{a}\right)^{3}+2\left\langle\frac{x}{a}-1\right\rangle^{3}\right)\right] \\\\<br />&amp;=\frac{q_{0} a^{4}}{48 E I_{y}}\left[2\left(\frac{x}{a}\right)^{4}-3\left(\frac{x}{a}\right)^{3}+\frac{x}{a}-10\left\langle\frac{x}{a}-1\right\rangle^{3}\right]<br />\end{aligned}</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;"><div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;"><p>Der abgebildete Balken mit der Biegesteifigkeit \( E I_{y} \) wird im Punkt \( A \) durch ein Festlager und in den Punkten \( B \) und \( C \) durch Loslager gehalten.</p><p> </p><p>Bestimmen Sie die Lagerkräfte, den Verlauf der Schnittlasten sowie die Biegelinie.</p></div><div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;"><p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6030b59999dd3d088221bde4.png" alt="Abbildung" /></p></div></div><p> </p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;"><div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;"><p>Der abgebildete Balken mit der Biegesteifigkeit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" E I_{y} " style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.696ex" height="2.213ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1633.5 978" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-299-TEX-I-1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 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transform="translate(473,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-299-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> wird im Punkt <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" A " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.697ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 750 716" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-300-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-300-TEX-I-1D434"></use></g></g></g></svg></mjx-container> durch ein Festlager und in den Punkten <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" B " style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.717ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 759 683" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-301-TEX-I-1D435" d="M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Balkensysteme mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: