Zusammengesetzte Beanspruchung

Querkraftschub in offenen Profilen

Torsion offener Profile

Torsion in geschlossenen Profilen

Totale Differenzierbarkeit

Mittelwertsatz

Mathe I

euklidischer Algorithmus

Brückenschaltung

Lineare Algebra 

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Stützmpment

Simplex Algorithmus

Optimierung in mehreren Variablen + Envelop Theorem 

Exterma Untersuchung

Basiswechselmatrix

Differenzenverstärker

übertragungsfunktion

Darstellungsmatrizen in neuer Basis darstellen

Basis wechsel, Transformationsmatrizen

Monotieverhalten

Cauchy-Produktformel

physik

elastischer stoss

lösbarkeit einer Matrix

kinematik

impuls

kugelkoordinaten une zylinderkoordinaten 

Matrix

Integralgleichung

kettenregel

Lösbarkeit einer Matrix

Glechgewicht

Schiefe Ebene

Cauchy Verdichtungssatz 

Schaltvorgänge

Singulärwertzerlegung

Spann

Lineares Gleichungssystem

spannung

Basis bestimmen

Fourier-Reihen

Unterschied In/Homogen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

basis 

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Teilchenphysik und Festkörperphysik

test

Regel von de L'Hopital

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Basiswechselsatz

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Stationäre Stoffübertragung

komplexe Ungleichungen 

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

restglied

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Direkte Summe 

Exponentielle Verzinsung

Tilgungsrechnung

Abschreibungsrechnung

Zins- und Barwertrechnung

Grenzkosten

Grenzerlös, Grenzgewinn und Grenzproduktivität

Ökonomische Anwendung

<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>\( \tau=76,39 \mathrm{MPa},\ I_{T}=47,99 \mathrm{~cm}^{4} \)</li>
<li>\( S_{F}=1,53  \)</li>
<li>\( S_{B}=4,97 \)</li>
<li>Fließen: duktile Werkstoffe<br />Trennbruch: spröde Werkstoffe</li>
</ol>

<p>a) Schubspannung und Torsionsträgheitsmoment</p>


<p>Mit \(A_{m}=\frac{1}{2} \pi r^{2}\) folgt:</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="A_{m}=\frac{1}{2} \pi r^{2}" style="vertical-align: -0.781ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="11.399ex" height="2.737ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 5038.5 1209.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3401-TEX-I-1D434" d="M208 74Q208 50 254 46Q272 46 272 35Q272 34 270 22Q267 8 264 4T251 0Q249 0 239 0T205 1T141 2Q70 2 50 0H42Q35 7 35 11Q37 38 48 46H62Q132 49 164 96Q170 102 345 401T523 704Q530 716 547 716H555H572Q578 707 578 706L606 383Q634 60 636 57Q641 46 701 46Q726 46 726 36Q726 34 723 22Q720 7 718 4T704 0Q701 0 690 0T651 1T578 2Q484 2 455 0H443Q437 6 437 9T439 27Q443 40 445 43L449 46H469Q523 49 533 63L521 213H283L249 155Q208 86 208 74ZM516 260Q516 271 504 416T490 562L463 519Q447 492 400 412L310 260L413 259Q516 259 516 260Z"></path><path id="MJX-3401-TEX-I-1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-3401-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-3401-TEX-N-31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path><path id="MJX-3401-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-3401-TEX-I-1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path><path id="MJX-3401-TEX-I-1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D434" xlink:href="#MJX-3401-TEX-I-1D434"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(783,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-3401-TEX-I-1D45A"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1731.6,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-3401-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mfrac" transform="translate(2787.4,0)"><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,394) scale(0.707)"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-3401-TEX-N-31"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(220,-345) scale(0.707)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-3401-TEX-N-32"></use></g><rect width="553.6" height="60" x="120" y="220"></rect></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3580.9,0)"><use data-c="1D70B" xlink:href="#MJX-3401-TEX-I-1D70B"></use></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(4150.9,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-3401-TEX-I-1D45F"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(484,363) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-3401-TEX-N-32"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>Für das Torsionsträgheitsmoment gilt:</p>


<p>\( I_{T}=\frac{\left(2 A_{m}\right)^{2}}{\oint \frac{d s}{t}} \)</p>


<p>Mit \(\oint \frac{d s}{t}=\frac{(\pi+2) r}{t}\) folgt:</p>


<p>Mit <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt="\oint \frac{d s}{t}=\frac{(\pi+2) r}{t}" style="vertical-align: -0.798ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.27ex" height="3.167ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1047.1 5865.3 1399.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-3404-TEX-SO-222E" d="M269 74L256 80Q244 85 227 97T191 128T161 179T148 250Q148 332 199 379T302 433L306 434L307 444Q309 456 313 495T321 553T331 607T345 664T365 712T393 756T431 785T479 804Q481 804 488 804T501 805Q552 802 581 769T610 695Q610 669 594 657T561 645Q542 645 527 658T512 694Q512 705 516 714T526 729T538 737T548 742L552 743Q552 745 545 751T525 762T498 768Q471 768 454 752T427 693T414 626T406 536Q405 530 405 527L397 425L404 422Q410 419 421 413T445 399T470 376T494 345T511 303T518 250Q518 205 502 169T460 112T410 80T364 66L360 65L359 55Q357 38 353 4T346 -43T340 -81T333 -118T326 -148T316 -179T303 -207Q256 -306 169 -306Q119 -306 87 -272T55 -196Q55 -170 71 -158T104 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data-c="2B" xlink:href="#MJX-3404-TEX-N-2B"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1737,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-3404-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2237,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-3404-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2626,0)"><use data-c="1D45F" xlink:href="#MJX-3404-TEX-I-1D45F"></use></g></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1180.3,-345) scale(0.707)"><use data-c="1D461" xlink:href="#MJX-3404-TEX-I-1D461"></use></g><rect width="2375.8" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container> folgt:</p>


<p>\[<br />\quad I_{T}=\frac{\left(\pi r^{2}\right)^{2} t}{(\pi+2) r}=\frac{\pi^{2}}{\pi+2} r^{3} t<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\tau&amp;=\frac{1200 \cdot 10^{3} \mathrm{Nmm}}{\pi \cdot 50^{2} \mathrm{~mm}^{2} \cdot 2 \mathrm{~mm}}=76,39 \mathrm{MPa} \\\\<br />I_{T}&amp;=\frac{\pi^{2}}{\pi+2} \cdot 50^{3} \mathrm{~mm}^{3} \cdot 2 \mathrm{~mm}=479890 \mathrm{~mm}^{4}=47,99 \mathrm{~cm}^{4}<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>\[<br />S_{F}=\frac{R_{e}}{2 \tau}=\frac{235 \mathrm{MPa}}{2 \cdot 76,39 \mathrm{MPa}}=1,53<br />\]</p>


<p>\[<br />\begin{align}<br />\sigma_{1}&amp;=\tau=76,39 \mathrm{MPa} \\\\<br />S_{B}&amp;=\frac{R_{m}}{\sigma_{1}}=\frac{380 \mathrm{MPa}}{76,39 \mathrm{MPa}}=4,97<br />\end{align}<br />\]</p>


<p>Fließen: duktile Werkstoffe<br />Trennbruch: spröde Werkstoffe</p>

<div class="horizontalLayoutContainer" style="display: flex; flex-direction: row;">
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-right: 10px; flex: 1;">
<p>Ein Balken mit dem abgebildeten dünnwandigen Halbkreisprofil wird durch das Torsionsmoment \( M_{x} \) belastet</p>
<ol style="list-style-type: lower-alpha;">
<li>Ermitteln Sie die Schubspannung und das Torsionsträgheitsmoment \( I_{T} \)</li>
<li>Bestimmen Sie die Sicherheit \( S_{F} \) gegen Fließen.</li>
<li>Bestimmen Sie die Sicherheit \( S_{B} \) gegen Trennbruch.</li>
<li>Bei welchen Werkstoffen tritt Versagen durch Fließen auf und bei welchen durch Trennbruch?</li>
</ol>
<p> </p>
<p>Zahlenwerte: \( r=5 \mathrm{~cm}, t=2 \mathrm{~mm}, M_{x}=1200 \mathrm{Nm}, R_{m}=380 \mathrm{MPa}, R_{e}=235 \mathrm{MPa} \)</p>
</div>
<div class="horizontalLayoutElement" style="padding-left: 10px; flex: 1;">
<p class="horizontalLayoutText"><img style="width: 100%;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/6030f41499dd3d088221f516.png" alt="Abbildung" /></p>
</div>
</div>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Torsion in geschlossenen Profilen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Dünnwandige Profile - Torsion in geschlossenen Profilen | Aufgabe mit 

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: