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Aufgabenstellung:

Der abgebildete Balken wird am freien Ende durch die im Flächenschwerpunkt angreifenden Kräfte und sowie das Moment um die z-Achse belastet. Er hat ein dünnwandiges C-Profil und besteht aus einem duktilen Werkstoff mit der Streckgrenze

  1. Ermitteln Sie die Querschnittsfläche , den Schwerpunktsabstand die Koordinaten des Schubmittelpunkts, die Flächenträgheitsmomente und im eingezeichneten Koordinatensystem sowie das Torsionsträgheitsmoment und das Torsionswiderstandsmoment .
  2. Ermitteln Sie die Schnittlasten in der Schnittebene, die den Punkt enthält.
  3. Ermitteln Sie die Spannungen im Punkt sowie die Hauptspannungen und die Hauptachsen. Stellen Sie den Spannungszustand im Punkt an einem achsenparallelen Rechteck in der -Ebene dar. Zeichnen Sie auch die Hauptachsen ein.
  4. Berechnen Sie die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese (von Mises) und die Sicherheit gegen Fließen.


Gegeben:

Abbildung

Abbildung

 

Lösungsweg:

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a) Querschnittskennwerte

Querschnittsfläche:

Schwerpunktsabstand:

Flächenträgheitsmomente:

Torsionsträgheitsmoment und Torsionswiderstandsmoment:

Lage des Schubmittelpunkts:

Schubfluss und Querkraft erzeugen das gleiche Moment bezüglich Punkt .

Schubfluss und Querkraft bezüglich Punkt

Schubfluss im Abschnitt :

Moment des Schubflusses:

Moment der Querkraft:

Aus folgt:

Zahlenwerte:

b) Schnittlasten

Abbildung

Zahlenwerte:

c) Spannungszustand im Punkt

Normalspannung

Normalkraft und Biegemomente resultieren aus der Normalspannung :

Mit und folgt für die Normalspannung im Punkt :

Zahlenwert:

Schubspannung

Schubspannung infolge der Querkraft

Zur Berechnung der Schubspannung infolge der Querkraft wird das statische Moment des halben Querschnitts benötigt:

Abbildung

Zahlenwert:

Für die Schubspannung infolge der Torsion gilt:

Abbildung

Zahlenwert:

Im Punkt addieren sich die Schubspannungen:

Zahlenwert:

Hauptspannungen

Mit folgt:

Hauptrichtungen:

Mohrscher Spannungskreis (zur Kontrolle) und Spannungen am Rechteck:

Abbildung

d) Vergleichsspannung und Sicherheit gegen Fließen

Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese:

Zahlenwert:

Sicherheit gegen Fließen:

Lösung: