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Aufgabenstellung:

AbbildungDas dargestellte System ist das mechanische Modell einer Deckenkonstruktion mit einer Gesamtlänge von . Vereinfachend kann die Gesamtmasse der Decke als konzentrierte Einzelmasse in Feldmitte angenommen werden. Des Weiteren sei die Biegesteifigkeit mit gegeben. Die Decke wird durch eine harmonische Erregung

belastet.Für die nachfolgenden Berechnungen nehmen Sie die Ersatzfedersteifigkeit mit an.

  1. Zeichnen Sie das Ersatzsystem und berechnen Sie die Ersatzfedersteifigkeit (siehe Hinweis)
  2. Stellen Sie mithilfe der synthetischen Methode die Bewegungsgleichung der Decke bezüglich der Absolutkoordinate auf.
  3. Zum Zeitpunkt befindet sich die Decke in der statischen Ruhelage. Lösen Sie die in b) aufgestellte Bewegungsgleichung für die Absolutkoordinate für . Beachten Sie hierbei, dass das System um die Ruhelage schwingt.
  4. Was passiert wenn die Eigenfrequenz in der Nähe der Erregerfrequenz liegt? Mit welcher konstruktiven Maßnahme lässt sich die Eigenfrequenz beeinflussen, ohne dabei die Steifigkeit des Systems zu verändern?

Hinweis:

AbbildungFür die Mittendurchbiegung gilt:

 

Gegeben:

Lösungsweg:

Drücke auf "Aufdecken" um dir den ersten Schritt der Lösung anzuzeigen

a) Ersatzfedersteifigkeit

Abbildung

Aus dem Hinweis folgt für : 

Alternativ:

b) Bewegungsgleichung der Decke

Skizze

Abbildung

  1. entlastet
  2. statische Ruhelage
  3. allgemeine Lage

allgemeine Lage:

mit

statische Ruhelage:

(2) in (1):

mit

Alternativ:

c) Lösen der Bewegungsgleichung (3a)

partikulärer Ansatz:

in :

homogener Ansatz:

Gesamtlösung:

Anfangsbedingungen nutzen

mit folgt

Hinweis: Alternativ kann auch die Bewegungsgleichung (3b) gelöst werden:

d) Was passiert wenn die Eigenfrequenz in der Nähe der Erregerfrequenz liegt? Mit welcher konstruktiven Maßnahme lässt sich die Eigenfrequenz beeinflussen, ohne dabei die Steifigkeit des Systems zu verändern?

  • Resonanzkatastrophe
  • Erhöhung der Masse

Lösung:

  2. mit
  4. Resonanzkatastrophe, Erhöhung der Masse.