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Aufgabenstellung:

Abbildung

In der oben dargestellten Vorrichtung wird eine Kugel (Punktmasse ) an einer Feder (Federsteifigkeit ) in einem masselosen Rohr geführt. Die Feder hat im entspannten Zustand die Länge . Das Rohr ist im Punkt A aufgehängt und kann sich in der Zeichenebene um den Winkel frei bewegen. Die Koordinate gibt die Bewegung der Masse im Rohr bezogen auf die entspannte Länge an.

  1. Stellen Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Methode die Bewegungsgleichungen des Systems auf. Verwenden Sie hierzu die Koordinaten und .

    Im Folgenden sollen kleine Auslenkungen und nur die Bewegungsgleichung in der Koordinate betrachtet werden.

  2. Wie lautet die linearisierte Bewegungsgleichung für ?
  3. Welche Eigenkreisfrequenz hat die Bewegung bzgl. der Koordinate

Gegeben: .

Lösungsweg:

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a) Bewegungsgleichungen des Systems in und :

1. Koordinaten des Schwerpunkts:

2. Energien:

i) Kinetische Energie

ii) Potentielle Energie

3. Lagrange-Anteile:

i) -Koordinate

In einsetzen

ii) -Koordinate

In einsetzen

4. Gesamt:

b) linearisierte Bewegungsgleichung für :

c) Eigenkreisfrequenz bzgl. der Koordinate :

Lösung: