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Aufgabenstellung:

Untersuchen Sie, ob sich als Linearkombination der folgenden Vektoren darstellen lässt.

Lösungsweg:

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ist Linearkombination von

Vergleich der Vektorkomponenten lineares Gleichungssystem für

a)

Aufstellen der Linearkombination

Vergleich der drei Vektorkomponenten

Umstellen der zweiten und dritten Gleichung ergibt

Einsetzen in die erste Gleichung

Abschließende Beurteilung

Es gibt unendlich viele Linearkombinationen, z.B.

Grund: Die Vektoren liegen in einer Ebene (lineare Abhängigkeit), die enthält

b) 

Aufstellen der Linearkombination

Komponentenvergleich 

Erste und dritte Gleichung

Einsetzen in die zweite Gleichung

Abschließende Beurteilung

Widerspruch, keine Darstellung als Linearkombination

c)

Aufstellen der Linearkombination

lineares Gleichungssystem

Eindeutige Darstellung als Linearkombination

Grund: Die Vektoren bilden eine Basis.

Lösung:

  1. unendlich viele Linearkombinationen
  2. keine Darstellung als Linearkombination
  3. eindeutige Darstellung als Linearkombination