Geraden und Ebenen

Anwendungen (Vektoren)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Vektorielles Beweisen

<p>\[\text { area } \square\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{3}\right) =\operatorname{area} \square(A, B, C, D) / 2\]</p>

<p>zu zeigen:</p>
<p>\[\quad<br />\vec{m}_{2}-\vec{m}_{1}=\vec{m}_{3}-\vec{m}_{4}\]</p>
<p>\[\quad\vec{m}_{3}-\vec{m}_{2}=\vec{m}_{4}-\vec{m}_{1}<br />\]</p>
<p>(Parallelität und gleiche Länge gegenüberliegender Seiten)<br />Beweise die erste Identität (analoge Argumentation für die zweite)</p>


<p>zu zeigen:</p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad
\vec{m}_{2}-\vec{m}_{1}=\vec{m}_{3}-\vec{m}_{4}" style="vertical-align: -0.375ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22.707ex" height="2.286ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 10036.7 1010.6" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-5-TEX-I-1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 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166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path><path id="MJX-5-TEX-N-34" d="M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mstyle"><g data-mml-node="mspace"></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1000,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-5-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(439,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" 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data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(911,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-33"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2536.8,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3537,0)"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D45A" xlink:href="#MJX-6-TEX-I-1D45A"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(439,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(911,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5129.3,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(6185.1,0)"><g 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transform="translate(911,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-6-TEX-N-31"></use></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>(Parallelität und gleiche Länge gegenüberliegender Seiten)<br />Beweise die erste Identität (analoge Argumentation für die zweite)</p>


<p>\[<br />\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} \stackrel{!}{=} \frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}-\frac{\vec{d}+\vec{a}}{2}<br />\]</p>


<p>Übereinstimmung nach Vereinfachung \( (=(\vec{c}-\vec{a}) / 2) \)</p>


<p>Übereinstimmung nach Vereinfachung <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" (=(\vec{c}-\vec{a}) / 2) " style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.114ex" height="2.477ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -845 5796.2 1095" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-8-TEX-N-28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-8-TEX-I-1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-20D7" d="M377 694Q377 702 382 708T397 714Q404 714 409 709Q414 705 419 690Q429 653 460 633Q471 626 471 615Q471 606 468 603T454 594Q411 572 379 531Q377 529 374 525T369 519T364 517T357 516Q350 516 344 521T337 536Q337 555 384 595H213L42 596Q29 605 29 615Q29 622 42 635H401Q377 673 377 694Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-8-TEX-I-1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-2F" d="M423 750Q432 750 438 744T444 730Q444 725 271 248T92 -240Q85 -250 75 -250Q68 -250 62 -245T56 -231Q56 -221 230 257T407 740Q411 750 423 750Z"></path><path id="MJX-8-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(389,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1444.8,0)"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(1833.8,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D450" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D450"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(272.1,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2489,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(3489.2,0)"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D44E" xlink:href="#MJX-8-TEX-I-1D44E"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(264.5,31) translate(-250 0)"><use data-c="20D7" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-20D7"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4018.2,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD" transform="translate(4407.2,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2F" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-2F"></use></g></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4907.2,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-32"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5407.2,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-8-TEX-N-29"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[<br />F_{1}=\operatorname{area} \Delta(A, B, C)=4 \text { area } \Delta\left(M_{1}, B, M_{2}\right)<br />\]</p>
<p>(doppelte Seitenlänge \( \rightarrow \) vierfacher Flächeninhalt)<br />(Analog die anderen)</p>


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F_{1}=\operatorname{area} \Delta(A, B, C)=4 \text { area } \Delta\left(M_{1}, B, M_{2}\right)
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data-mml-node="mi" transform="translate(6832.4,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(7591.4,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(8036.1,0)"><use data-c="1D436" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D436"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8796.1,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-29"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(9462.9,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(10518.7,0)"><use data-c="34" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-34"></use></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(11018.7,0)"><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-A0"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-61" transform="translate(250,0)"></use><use data-c="72" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-72" transform="translate(750,0)"></use><use data-c="65" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-65" transform="translate(1142,0)"></use><use data-c="61" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-61" transform="translate(1586,0)"></use><use data-c="A0" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-A0" transform="translate(2086,0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(13354.7,0)"><use data-c="394" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-394"></use></g><g data-mml-node="mrow" transform="translate(14354.3,0)"><g data-mml-node="mo"><use data-c="28" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-28"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D440"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1003,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-31"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1795.6,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2240.2,0)"><use data-c="1D435" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D435"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2999.2,0)"><use data-c="2C" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-2C"></use></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3443.9,0)"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D440" xlink:href="#MJX-9-TEX-I-1D440"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(1003,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4850.4,0)"><use data-c="29" xlink:href="#MJX-9-TEX-N-29"></use></g></g></g></g></svg></mjx-container></p>
<p>(doppelte Seitenlänge <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \rightarrow " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -511 1000 522" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-10-TEX-N-2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="2192" xlink:href="#MJX-10-TEX-N-2192"></use></g></g></g></svg></mjx-container> vierfacher Flächeninhalt)<br />(Analog die anderen)</p>


<p>\[<br />F_{2}=\text { area } \Delta(B, C, D)=4 \text { area } \Delta\left(M_{2}, C, M_{3}\right) \]</p>


<p>\[<br />F_{3}=\operatorname{area} \Delta(C, D, A)=4 \text { area } \Delta\left(M_{3}, D, M_{4}\right) \]</p>


<p>\[<br />F_{4}=\operatorname{area} \Delta(D, A, B)=4 \text { area } \Delta\left(M_{4}, A, M_{1}\right)<br />\]</p>


<p>\( \rightsquigarrow \) Parallelogrammfläche (Vierecksfläche minus kleine Dreiecksflächen):</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \rightsquigarrow " style="vertical-align: 0.188ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="0.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -417 1000 334" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-14-TEX-N-21DD" d="M76 230Q68 230 62 237T56 250Q56 257 63 264T91 291Q102 300 108 306L159 351Q168 356 177 351L218 316L303 239L353 195Q376 214 403 239L488 316L529 351Q538 356 546 351Q548 350 594 310L638 270H848L841 278Q813 309 792 344T763 396T755 416Q755 417 778 417H801Q817 367 856 323T943 250Q895 221 856 177T801 83H778Q755 83 755 84Q755 86 762 103T791 156T841 222L848 230H737Q625 230 622 232Q620 233 599 251T558 288L537 306Q537 305 451 228T362 149Q353 146 345 149Q341 150 255 227T169 306Q167 306 129 270Q123 265 115 257T102 245T93 237T84 232T76 230Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="21DD" xlink:href="#MJX-14-TEX-N-21DD"></use></g></g></g></svg></mjx-container> Parallelogrammfläche (Vierecksfläche minus kleine Dreiecksflächen):</p>


<p>\[<br />\begin{aligned}<br />\text { area } \square\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{3}\right) &amp;=(\underbrace{F_{1}+F_{3}}_{=F_{2}+F_{4}})-\left(F_{1} / 4+F_{2} / 4+F_{3} / 4+F_{4} / 4\right) \\\\<br />&amp;=\left(F_{1}+F_{3}\right) / 2=\operatorname{area} \square(A, B, C, D) / 2<br />\end{aligned}<br />\]</p>

<p><img style="float: right; width: 36%; height: auto;" src="https://storage.googleapis.com/max-academy-image-bucket/615c43419f042bdb2af1abab.png" alt="Abbildung" width="276" height="226" /></p>
<p>Zeigen Sie:</p>
<p>Die Seitenmitten eines ebenen Vierecks bilden ein Parallelogramm mit dem halben Flächeninhalt.</p>

Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Anwendungen (Vektoren) mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: