Geraden und Ebenen

Anwendungen (Vektoren)

Unterschied In/Homogen

Basis, Basiswechsel

Abbildungsmatrizen

Funktionen bestimmen

Gruppen

lineare abbildung 

quadratische ergänzung

Baustatik 1

Anfangswertprobleme :)

Differentialgleichungen

basis 

QR-Algorithmus

QR-Zerlegung

Cholesky-Zerlegung

Bild & Urbild

Zweigstromanalyse

Transistor als Thermometer

Investment

Teilfolgen

Epsilon Delta Kriterium

prinzip der virtuellen verrückung 

Linear Kombination

Folgen, Reihen und Potenzreihen

Flächenpressung

Arbeit 

Cholesky Zerlegung

Polynomfunktionen beschreiben

Zu Maß-und Integrationstheorie: Majorisierte Konvergenz

Teilchenphysik und Festkörperphysik

Orthogonaltrajektorien

test

Taylorreihen

Regel von de L'Hopital

Mathe

KRAFT

Grenzwert Funktion 

Folgenkriterium

ϵ-δ Kriterium 

Beweis Stetigkeit 

Wahrheitstabelle

2x2 Matrix

Matrix invertieren

Basiswechselsatz

Lineare Abbildunge 

Vorderrad fahradgabel lagerkräfte berechnen 

Spannungsregelung

Jordan Normal Form

Test

Induktion 

Jordan-Normalform

Ansatz der Störfunktion zur Bestimmung der Partikulären Lösung

Kurvenintegral

dlg mithilfe inhomogenen linearen system lösen

Inverse einer Matrix

Gleichmäßige Stetigkeit

addition

Regel von L´Hospital

Lineare Abbildungen

dimension eines Untervektorraumes bestimmen

Stationäre Stoffübertragung

Polplan, Prinzip der virtuellen Verrückungen

komplexe Ungleichungen 

Bidualräume

Dualräume

Taylorpolynome

Kern und Basis

Diagonalisieren einer Matrix

Rekursive Folgen

Exponentialreihe

Darstellungsmatrizen

restglied

Basiswechsel

Gamma Funktion

Newton Verfahren

Randwertaufgabe

Numerische Integration: Trapez- und Simpsonregel

Funktionenfolgen

dualräume

Dualraum

Komplexe Nullstellen

Chemie

Natascha Kirchmann

Differentialquotient

Folgedefinition des Funktionslimes

Grenzwerte und Stetigkeit 

Komplexe Zahlen

Kern und Bild 

Direkte Summe 

Koordinaten 

Exponentielle Verzinsung

Lineare Verzinsung

Festverzinsliche Wertpapiere

Schnittpunkte von Gerade in parametrischer Darstellung

<p>\[<br />\vec{p}=(8,7)^{\mathrm{t}} <br />\]</p>

<p>Gleichsetzen der parametrischen Darstellungen</p>


<p>\[<br />\left(\begin{array}{c}<br />2 \\<br />-1<br />\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l}<br />3 \\<br />4<br />\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}<br />5 \\<br />4<br />\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}<br />2 \\<br />3<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>\( \rightsquigarrow \) lineares Gleichungssystem (je eine Gleichung für die \( x \) - und \( y \)-Koordinate)</p>


<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" \rightsquigarrow " style="vertical-align: 0.188ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="0.756ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -417 1000 334" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-38-TEX-N-21DD" d="M76 230Q68 230 62 237T56 250Q56 257 63 264T91 291Q102 300 108 306L159 351Q168 356 177 351L218 316L303 239L353 195Q376 214 403 239L488 316L529 351Q538 356 546 351Q548 350 594 310L638 270H848L841 278Q813 309 792 344T763 396T755 416Q755 417 778 417H801Q817 367 856 323T943 250Q895 221 856 177T801 83H778Q755 83 755 84Q755 86 762 103T791 156T841 222L848 230H737Q625 230 622 232Q620 233 599 251T558 288L537 306Q537 305 451 228T362 149Q353 146 345 149Q341 150 255 227T169 306Q167 306 129 270Q123 265 115 257T102 245T93 237T84 232T76 230Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><use data-c="21DD" xlink:href="#MJX-38-TEX-N-21DD"></use></g></g></g></svg></mjx-container> lineares Gleichungssystem (je eine Gleichung für die <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" x " style="vertical-align: -0.025ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-39-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D465" xlink:href="#MJX-39-TEX-I-1D465"></use></g></g></g></svg></mjx-container> - und <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" y " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-40-TEX-I-1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D466" xlink:href="#MJX-40-TEX-I-1D466"></use></g></g></g></svg></mjx-container>-Koordinate)</p>


<p>\[<br />t=\left|\begin{array}{cc}<br />3 &amp; -2 \\<br />5 &amp; -3<br />\end{array}\right| /\left|\begin{array}{rr}<br />3 &amp; -2 \\<br />4 &amp; -3<br />\end{array}\right|=(-9+10) /(-9+8)=-1<br />\]</p>


<p>\[<br />\vec{p}=\left(\begin{array}{c}<br />2 \\<br />-1<br />\end{array}\right)+(-1)\left(\begin{array}{l}<br />3 \\<br />4<br />\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}<br />-1 \\<br />-5<br />\end{array}\right)<br />\]</p>


<p>Kontrolle: Berechnung von \( s=-3\)</p>


<p>Kontrolle: Berechnung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" s=-3" style="vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.97ex" height="1.69ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -665 3080.6 747" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-45-TEX-I-1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path><path id="MJX-45-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path><path id="MJX-45-TEX-N-2212" d="M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z"></path><path id="MJX-45-TEX-N-33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D460" xlink:href="#MJX-45-TEX-I-1D460"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(746.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJX-45-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1802.6,0)"><use data-c="2212" xlink:href="#MJX-45-TEX-N-2212"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2580.6,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJX-45-TEX-N-33"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[ \rightsquigarrow(5,4)^{\mathrm{t}}-3(2,3)^{\mathrm{t}}=(-1,-5)^{\mathrm{t}} \]</p>


<p>Einsetzen der parametrischen Darstellung </p>
<p>\[\quad<br />x=2+3 t, \quad y=-1+4 t<br />\]</p>
<p>von \( g \) in die implizite Darstellung von \( h_{2} \leadsto \)</p>


<p>Einsetzen der parametrischen Darstellung </p>
<p><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="\quad
x=2+3 t, \quad y=-1+4 t
" style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="27.418ex" height="1.995ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 12118.7 882" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-48-TEX-I-1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path><path id="MJX-48-TEX-N-3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 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<p>von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" g " style="vertical-align: -0.464ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-49-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><use data-c="1D454" xlink:href="#MJX-49-TEX-I-1D454"></use></g></g></g></svg></mjx-container> in die implizite Darstellung von <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg alt=" h_{2} \leadsto " style="vertical-align: -0.339ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.182ex" height="1.91ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2290.3 844" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-50-TEX-I-210E" d="M137 683Q138 683 209 688T282 694Q294 694 294 685Q294 674 258 534Q220 386 220 383Q220 381 227 388Q288 442 357 442Q411 442 444 415T478 336Q478 285 440 178T402 50Q403 36 407 31T422 26Q450 26 474 56T513 138Q516 149 519 151T535 153Q555 153 555 145Q555 144 551 130Q535 71 500 33Q466 -10 419 -10H414Q367 -10 346 17T325 74Q325 90 361 192T398 345Q398 404 354 404H349Q266 404 205 306L198 293L164 158Q132 28 127 16Q114 -11 83 -11Q69 -11 59 -2T48 16Q48 30 121 320L195 616Q195 629 188 632T149 637H128Q122 643 122 645T124 664Q129 683 137 683Z"></path><path id="MJX-50-TEX-N-32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path><path id="MJX-50-TEX-N-21DD" d="M76 230Q68 230 62 237T56 250Q56 257 63 264T91 291Q102 300 108 306L159 351Q168 356 177 351L218 316L303 239L353 195Q376 214 403 239L488 316L529 351Q538 356 546 351Q548 350 594 310L638 270H848L841 278Q813 309 792 344T763 396T755 416Q755 417 778 417H801Q817 367 856 323T943 250Q895 221 856 177T801 83H778Q755 83 755 84Q755 86 762 103T791 156T841 222L848 230H737Q625 230 622 232Q620 233 599 251T558 288L537 306Q537 305 451 228T362 149Q353 146 345 149Q341 150 255 227T169 306Q167 306 129 270Q123 265 115 257T102 245T93 237T84 232T76 230Z"></path></defs><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><use data-c="210E" xlink:href="#MJX-50-TEX-I-210E"></use></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(609,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mn"><use data-c="32" xlink:href="#MJX-50-TEX-N-32"></use></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1290.3,0)"><use data-c="21DD" xlink:href="#MJX-50-TEX-N-21DD"></use></g></g></g></svg></mjx-container></p>


<p>\[\begin{align}<br />2(2+3 t)-3(-1+4 t)&amp;=-5 \\\\<br />\Leftrightarrow -6 t&amp;=-12 \\\\ \Leftrightarrow t&amp;=2 \end{align}\]</p>


<p>\[<br />\vec{p}=(2,-1)^{\mathrm{t}}+2(3,4)^{\mathrm{t}}=(8,7)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>


<p>Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />g:(2,-1)^{\mathrm{t}}+t(3,4)^{\mathrm{t}}<br />\]</p>
<p>mit den Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;">\[<br />h_{1}:(5,4)^{\mathrm{t}}+s(2,3)^{\mathrm{t}}, \quad h_{2}: 2 x-3 y=-5<br />\]</p>

<p>Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
g:(2,-1)^{\mathrm{t}}+t(3,4)^{\mathrm{t}}
" style="vertical-align: -0.566ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.985ex" height="2.484ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -847.9 8833.5 1097.9" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><defs><path id="MJX-34-TEX-I-1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path><path id="MJX-34-TEX-N-3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 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<p>mit den Geraden</p>
<p style="padding-left: 40px;"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true" justify="left"><svg alt="
h_{1}:(5,4)^{\mathrm{t}}+s(2,3)^{\mathrm{t}}, \quad h_{2}: 2 x-3 y=-5
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Dies ist eine interaktive Aufgabe zu: Geraden und Ebenen mit praktischen Tipps zum Lösen und einer Zusammenfassung der nötigen Theorie

Aufgabenstellung:

Lösungsweg:

Lösung: