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Aufgabenstellung:

Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der periodischen Funktion

  1. unter Verwendung des Additionstheorems der Kosinusfunktion,
  2. mit Hilfe des Zeigerdiagramms.

Hinweis zu b): Fassen Sie die beiden Summanden als gleichfrequente (mechanische) Schwingungen auf Zeit; Auslenkung; Kreisfrequenz: ) und ersetzen Sie die beiden Einzelschwingungen durch eine resultierende Sinusschwingung gleicher Frequenz, deren Nullstellen dann leicht bestimmt werden können.

Lösungsweg:

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a) Nullstellen über Additionstheoreme:

Setze  

Nutze die Substitution:

Mit dem Additionstheorem der Kosinusfunktion erhalten wir:

(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung )

Die Lösungen der Gleichung entsprechen den Schnittstellen der Tangenskurve mit der zur -Achse parallelen Geraden .

Diese lassen sich auch in einer Skizze verdeutlichen:

Abbildung

Lösung im Periodenintervall (Punkt im Bild):

Weitere Lösungen liegen im Abstand von ganzzahligen Vielfachen der Periode :

Durch Rücksubstitution erhalten wir die gesuchten Nullstellen :

b) Nullstellen mit Hilfe des Zeigerdiagramms

Die gleichfrequenten Einzelschwingungen und ergeben bei ungestörter Überlagerung eine gleichfrequente resultierende Schwingung in der Sinusform

Zunächst müssen wir die Kosinusschwingung in eine Sinusschwingung mit positiver Amplitude verwandeln. Dies geschieht besonders anschaulich mit Hilfe des Zeigerdiagramms:

Abbildung

Drehwinkel:

Auf die Berechnung der Amplitude können wir verzichten, da diese keinen Einfluss auf die Lage der Nullstellen hat.

Berechnung des Nullphasenwinkels

Mit und folgt dann:

Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir, dass der resultierende Zeiger im 4. Quadranten liegt (Skizze). Somit ergibt sich für

Abbildung

Resultierende Schwingung:

Die Nullstellen der Funktion liegen bekanntlich an den Stellen mit Somit besitzt die resultierende Schwingung genau dort Nullstellen, wo ihr Argument einen der Werte annimmt:

Lösung:

Beide Teilaufgaben liefern: