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Aufgabenstellung:

Die Hyperbelfunktion setzt sich definitionsgemäß aus Exponentialfunktionen wie folgt zusammen:

Zeigen Sie, dass sich ihre Umkehrfunktion durch eine logarithmische Funktion darstellen lässt.

Lösungsweg:

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Wir multiplizieren die Funktionsgleichung beiderseits mit , führen dann die Substitution durch und lösen die erhaltene quadratische Gleichung. Nutze außerdem die Rechenregeln: :

Da wegen nur positive Lösungen in Frage kommen, scheidet als Lösung aus (beachte: für ). Somit gilt:

Diese Gleichung lösen wir durch Logarithmieren nach auf:

Durch Vertauschen der beiden Variablen erhalten wir die Umkehrfunktion von , also die Funktion , in der gewünschten logarithmischen Darstellungsform:

Lösung: